¿Es necesario y suficiente que $6$ divide $n^2$ para el número entero positivo $n$ sea divisible por $6$ ?

Question

Como sugiere el título, ¿es necesario y suficiente que $6$ divide $n^2$ para el número entero positivo $n$ sea divisible por $6$ ? Como, entiendo las definiciones del diccionario de necesario y suficiente, pero no tengo una idea de cómo probar lógicamente este problema...

Answer 1

El resultado principal es El lema de Euclides :

Si $p$ es primo y $p$ divide $ab$ entonces $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ .

Ahora $6$ divide $m$ si $2$ y $3$ dividir $m$ .

Aplique estos dos hechos a $6$ divide $n^2$ para concluir que $2$ y $3$ dividir $n^2$ y por eso $2$ y $3$ dividir $n$ .

Answer 2

sin Euclides: si $6|n^2$ , $n^2=2^{2i}3^{2j}p_3^{2k}p_4^{2l}...p_q^{2m},\{i,j,k,l,m...\}\in N$

ahora toma la raíz cuadrada de eso. para otra forma obvia que $6|n\Rightarrow 6|n^2$

Answer 3

Otra forma sin el lema de Euclides: la tabla de cuadrados módulo $6$ es : $$\begin{matrix} n\equiv {}&0 &\pm1 & \pm2&3\\[1ex] \hline n^2\equiv {}&0&1&-2&3 \end{matrix}$$ Vemos el único caso con $\,n^2\equiv 0 \bmod 6$ es cuando $n\equiv 0$ .