Dos métricas sobre $\mathbb P^n(\mathbb C)$

Question

Hasta donde yo sé, hay dos formas diferentes de construir una "función de distancia" en el espacio proyectivo complejo $\mathbb P^n(\mathbb C)$ . Me gustaría entender su relación:

1. Distancia cordal: Para $x=(x_0:\ldots:x_n)$ y $y=(y_0:\ldots: y_n)$ se puede definir: $$d_{ch}(x,y):=\frac{\left(\sum_{i<j}|x_iy_j-x_jy_i|^2\right)^{1/2}}{\|x\|\,\|y\|}$$ donde $\|\cdot\|$ denota la norma euclidiana estándar en $\mathbb C^{n+1}$ . Con un poco de trabajo se puede demostrar que $d_{ch}(x,y)$ es una distancia bien definida. Se llama "cordal" porque si consideramos $P^1(\mathbb C)$ incrustado como la esfera de Riemann dentro de $\mathbb R^3$ entonces $d_{ch}(x,y)$ debe ser exactamente la longitud de la cuerda que une $x$ y $y$ .

2. La métrica del estudio Fubini: Al tratarse de variedades reales lisas, tenemos la identificación $\mathbb P^n(\mathbb C)\cong S^{2n+1}/S^1$ . En la hipersfera unitaria $S^{2n+1}$ podemos poner la métrica redonda estándar de Riemann (también conocida como el pullback de la métrica euclidiana) y luego podemos empujar esta métrica en el cociente $S^{2n+1}/S^1$ es decir, dejamos que $S^1$ (=grupo de rotación) actúan en diagonal sobre $S^{2n+1}$ . En realidad, la mejor referencia que conozco sobre la construcción de la métrica (riemanniana) de Fubini-Study es el página de wikipedia . Allí se puede encontrar realmente todo, incluso la expresión explícita en términos de coordenadas locales con respecto a los parches afines estándar de $\mathbb P^n(\mathbb C)$ . Entonces, vamos a denotar con $g$ el campo tensorial de la métrica de Fubini-Study, entonces $(\mathbb P^n(\mathbb C),g)$ es una bella variedad riemanniana (o variedad hermitiana si se considera sobre $\mathbb C$ ). En este punto $g$ induce en $\mathbb P^n(\mathbb C)$ una función de distancia $d_{fs}(x,y)$ .

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuál es la relación entre las funciones $d_{ch}$ y $d_{fs}$ ? Mi intuición es que deberían ser infinitesimalmente iguales (aunque no pueda demostrarlo formalmente). Si simplificamos demasiado la imagen e imaginamos que estamos trabajando en un círculo, entonces $d_{ch}$ mide el acorde y $d_{fs}$ mide el arco que se encuentra en esa cuerda. Desgraciadamente, muy a menudo he visto a la gente decir frases como: "la distancia cordal en $\mathbb P^n(\mathbb C)$ induce la métrica de Fubini-Study" . Así que, probablemente me estoy perdiendo algo y estas dos métricas están realmente relacionadas entre sí; ¡más de lo que creo!

Answer 1

La métrica cordal es una "métrica topológica" en el sentido de los espacios métricos, mientras que la métrica de Fubini-Study es una "métrica riemanniana" en el sentido de la geometría diferencial. Para comparar manzanas con manzanas, podemos fijarnos en la métrica topológica de "longitud de arco" inducida por Fubini-Study, definida por las longitudes de las geodésicas más cortas.

En la esfera, la métrica cordal es suave en la antípoda, mientras que la de Fubini no lo es. Sin embargo, las dos métricas son asintóticamente cercanas en la vecindad de cada punto. El diagrama muestra las gráficas de las respectivas funciones de distancia sobre un círculo ecuatorial. (La cortesía podría haber dictado que se aplastara el eje vertical en lugar de trazarlo a escala, pero la verdadera forma de las dos hélices era demasiado agradable visualmente).