(Operador) desigualdad de la norma para funciones continuas

Question

Dejemos que $f,g$ sean dos funciones continuas no negativas sobre $[0,\infty)$ Satisfaciendo a $f(t)g(t)=t,$ $\forall t\in[0,\infty)$ . Sea $A$ sea un operador lineal acotado que actúa sobre un espacio de Hilbert. Entonces me preguntaba si la siguiente desigualdad es siempre cierta:

$$\|f(|A|)\|\; \|g(|A^*|)\|\geq \|A\|.$$

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que $|A|, |A^\ast|$ son operadores positivos semidefinidos y autoadjuntos que tienen la norma del operador $\Vert A \Vert$ .

Por lo tanto, $\sigma(|A|) \cup \sigma(|A^\ast|) \subset [0, \Vert A \Vert]$ . Como la norma del operador es igual al radio espectral para los operadores autoadjuntos, obtenemos $\Vert A \Vert \in \sigma(|A|) \cap \sigma(|A^\ast|)$ .

Ahora bien, como $f,g$ son continuas, propiedades elementales del cálculo espectral (la transformada de Gelfand es una isometría sobre las funciones continuas en el espectro) dan como resultado

$$ \Vert f(|A|) \Vert = \sup_{x \in \sigma(|A|)} |f(x)| \geq |f(\Vert A \Vert)|. $$

Análogamente, $$ \Vert g(|A^\ast|) \Vert = \sup_{x \in \sigma(|A^\ast|)} |g(x)| \geq |g(\Vert A \Vert)|. $$

En total, obtenemos

$$ \Vert f(|A|) \Vert \cdot \Vert g(|A^\ast|) \Vert \geq |f(\Vert A \Vert)| \cdot |g(\Vert A \Vert)| = \Vert A \Vert, $$ como se desee.