Encuentre para qué $\alpha$ $y=8x+\alpha$ es tangente a la curva $x^4+y^4=1$

Question

Encuentre para qué $\alpha \in \mathbb{R}$ la línea $y=8x+\alpha$ es tangente a la curva $x^4+y^4=1$ .

En primer lugar, calculé la tangente a la curva, que es $(4x^3, 4y^3)$ y si la línea es tangente a la curva, entonces existe $(x,y)$ tal que $x^4+y^4=1$ y $y=8x+\alpha$ y $4tx^3=x, 8x+\alpha=4ty^3$ para algunos $t$ . Esta dirección no dio ningún resultado, así que intenté parametrizar la curva, pero no estoy seguro de que $\gamma(t)=(\sqrt{cost}, \sqrt{sint})$ es la dirección, pero esto era problemático ya que esto no está bien definido cuando $cost<0$ o $sint<0$ y utilizando la parametrización $\gamma (t)=(\sqrt{|cost|}, \sqrt {|sint|}$ no es uno a uno y sobre.

¿Cuál es la mejor dirección a utilizar?

Answer 1

Diferenciación de la curva $x^4+y^4=1$ da la pendiente $-\frac{u^3}{v^3}$ en $(u,v)$ . Así que necesitamos $v^3=-\frac{u^3}{8}$ y por lo tanto $v=-\frac{u}{2}$ . El punto se encuentra en la curva por lo que $u^4=\frac{16}{17}$ . Por lo tanto, $u=\pm\frac{2}{k}$ , donde $k=17^{1/4}$ .

Para el punto $(u,v)=(\frac{2}{k},-\frac{1}{k})$ tenemos $\alpha=v-8u=-k^3$ para el punto $(u,v)=(-\frac{2}{k},\frac{1}{k})$ tenemos $\alpha=v-8u=k^3$ . Por tanto, los dos valores posibles de $\alpha$ son $\pm17^{3/4}\approx\pm8.37214$ .

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