Demostrando que si $|W(-\ln z)| < 1$ entonces $z^{z^{z^{z^...}}}$ es convergente

Question

Dejemos que $z \in \mathbb{C}$ y que $W$ sea el Lambert $W$ función. En este puesto se demuestra que si $|W(-\ln z)| > 1$ entonces la torre de potencia infinita $z^{z^{z^{z^...}}}$ no converge, es decir $|W(-\ln z)| \leq 1$ es una condición necesaria para la convergencia de $z^{z^{z^{z^...}}}$ .

Aquí me gustaría mostrar que $|W(-\ln z)| < 1$ es una condición suficiente, es decir, si $|W(-\ln z)| < 1$ entonces $z^{z^{z^{z^...}}}$ es convergente.

Answer 1

El concepto clave es aquí la "región Shell-Thron". En artículos del siglo pasado, inicialmente W. Thron y después D. Shell, basándose en el trabajo de Thron, demostraron que si se tiene una base compleja, digamos $b$ tal que $b=t^{1/t}$ o, con $u=\log(t)$ , de tal manera que $b=\exp(u \exp(-u))$ entonces la torre de potencia infinita converge si $|u| \lt 1$ y el punto de convergencia es $t$ . (Ver mi imagen anterior en MSE donde he relacionado esas 3 variables entre sí)

Los valores numéricos indicados en la respuesta de Yiannis Galidakis tienen $|u|=1-\varepsilon$ por lo que la iteración debería converger aunque muy lentamente. Encontré, que una imagen agradable ocurre si usted separa la trayectoria en 4 o incluso mejor: 72 subtrayectorias. Con Pari/GP y 800 dígitos de precisión se obtiene una bonita forma que tiene algún borde "tipo fractal" o "copo de nieve". He hecho las iteraciones de $z_0=1$ hasta 80 x 72 iteraciones para que cada curva parcial tenga 80 puntos, casi vecinos entre sí - y cada par de puntos vecinos del mismo color tiene una distancia de 72 iteraciones; para obtener una imagen realmente buena se debe proceder al menos a 72^3 x 72 puntos para obtener una impresión válida de que esta curva de forma extraña se contrae realmente. Ver una imagen q&d hecha con Excel usando valores hechos con Pari/GP, 800 precisión de los dígitos:

Uno reconoce 4 segmentos que juntos hacen una ronda. Estos son los cuatro primeros segmentos de 72 segmentos, (donde el 5 'th casi se superpondría a la primera, la 6 'th casi el segundo y así sucesivamente, pero no se muestran aquí para mantener la imagen limpia). El segmento marrón es el 32 ' y su pequeño exceso adicional respecto al azul muestra que la contracción esperada no es -al menos- suave.
No me atrevo a aumentar el número de puntos en este momento (es de noche aquí), posiblemente mis pistas dan suficientes ideas para proceder por su cuenta.

[actualización] No pude detenerme a intentar discernir la convergencia. Parece, que no sólo en pasos de 72 los iterados son apretados juntos, pero que necesita 322 de tales 72-pasos para llenar una ronda de la curva. Así que tomé un valor inicial arbitrario de mi lista existente, $\small y_0=-0.5602531521 - 0.6868631844 I$ , luego se itera 322*72=23184 veces para llegar a $ \small y_{23184} \approx -0.5602563718 - 0.6868510240 I$ y procedió 20 veces con ese ancho de iteración. El siguiente protocolo muestra la contracción pero sólo en el cuarto dígito decimal de la distancia al punto fijo t Por supuesto, no es visible en la imagen:

    real y_k       imag y_k       | y_k - t| =distance to fixpoint 
  -0.5602563718  -0.6868510240  0.8863698615
  -0.5602654611  -0.6868245642  0.8863551032
  -0.5602477332  -0.6867936307  0.8863199274
  -0.5602391855  -0.6867763400  0.8863011262
  -0.5602265922  -0.6867593629  0.8862800106
  -0.5602215274  -0.6867495245  0.8862691855
  -0.5602178010  -0.6867358203  0.8862562109
  -0.5602148750  -0.6867278280  0.8862481684
  -0.5602175553  -0.6867173579  0.8862417497
  -0.5602183774  -0.6867059453  0.8862334262
  -0.5602266751  -0.6866972799  0.8862319570
  -0.5602460790  -0.6866801357  0.8862309393
  -0.5602492634  -0.6866452713  0.8862059387
  -0.5602499101  -0.6866233340  0.8861893503
  -0.5602465541  -0.6865997931  0.8861689891
  -0.5602452598  -0.6865858545  0.8861573713
  -0.5602473046  -0.6865693793  0.8861458993
  -0.5602478202  -0.6865574553  0.8861369869
  -0.5602548561  -0.6865457844  0.8861323930
  -0.5602616629  -0.6865325382  0.8861264340

[fin de la actualización]

Eso es diferente con los valores b donde el valor correspondiente de u es $|u|=1$ y por lo tanto se encuentran en el límite del disco unitario complejo. Se ha dado un ejemplo en el comentario a la respuesta de Yiannis Galidakis con u como alguna raíz unitaria compleja. Entonces no tenemos convergencia y la curva (con aproximadamente la misma forma que el inicio de la curva mostrada) hace no pero tiene su trayectoria "estacionaria" - lo llamé, cuando lo vi por primera vez, "ecuador" porque me recuerda a los meridianos de un globo terráqueo - no desapareciendo y tampoco contrayéndose hacia el punto fijo, pero por supuesto hay términos técnicos establecidos para ello - gracias a Yiannis que me señaló esto en un comentario anoche.

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P.d.: para mejorar la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo cuando se necesitan muchas iteraciones, utilice la siguiente relación de conjugación:
la iteración original exige

• utilizar algunos $\small z_0$ ,
  computa $\small z_{k+1} = b^{z_k}$ e iterar
  hasta que algunos $\small z_n$ .

Puedes hacer la siguiente sustitución:

• utilizar el mismo $\small z_0$ ,
  computa $\small y_0=(z_0/t)-1$ ,
  computa $\small y_{k+1}=\exp(u \cdot y_k) - 1$ durante tantas iteraciones como antes
  para conseguir $\small y_n$ ,
  entonces calcula $\small z_n = (y_n+1) \cdot t$
  $ \qquad \qquad $ con $\small t=\exp(-W(-\ln(b)))$ y $\small u=\ln(t)=-W(-\ln(b))$

Answer 2

Aquí me gustaría mostrar que $|W(\ln(z))|\le 1$ es también una condición suficiente, es decir, si $|W(\ln(z))|\le 1$ entonces $z^{z^{z^{\ldots}}}$ es convergente.

No es cierto. Toma $c=2.043759690+0.9345225945i$ . Entonces (con algo de código Maple:)

restart;
with(plots);
F := proc (z, n)#power tower recursively defined
option remember;
if n = 1 then z else z^F(z, n-1)
end if
end proc;
W := LambertW;
c := 2.043759690+.9345225945*I;
evalf(abs(W(-ln(c))));

0.99999999

L := [seq(evalf(F(c, n)), n = 1 .. 100)];
complexplot(L, style = point);

Esta es la lista de valores $c,c^c,c^{c^c},\ldots$ trazado contra el plano complejo:

Answer 3

Aquí quiero mostrar otro argumento, por qué la convergencia se produce con el tipo de iteración como en el título.

Sólo permítanme cambiar el nombre de las variables involucradas a mi propio uso de un año para mi propia comodidad al escribir esto:

• $b$ : Yo uso $b$ para "(b)ase" en $z_{k+1}=b^{z_k}$ con números complejos $z_k$

• $t$ : Entonces uso $t$ para el "punto fijo" tal que $t=\lim_{k \to \infty} z_k$
  $\qquad $ (si este es convergente, en caso contrario si la iteración inversa $z_{k+1} = \log_b(z_k)$ converge al punto fijo o, al menos, si la iteración de Newton da ese punto fijo)

• $u$ : Para el registro del punto fijo utilizo $u$ tal que
  $ \qquad b= t^{1/t} = \exp(u \cdot \exp(-u))$ o
  $ \qquad t=\exp(-W(-\log(b)))$ y
  $ \qquad u=-W(-\log(b))$

• conjugación: En lugar de escribir $z_{k+1}=b^{z_k}$ es equivalente a escribir $y_{k+1}=t^{y_k}-1$ y utilizar la conjugación
  $\qquad y_k = z_k/t-1$ y $z_k = (y_k+1)\cdot t$ .
  $\qquad$ Aparte de las ventajas que explico a continuación, parece que, según algunas heurísticas, esto también podría ser numéricamente más estable que el cálculo iterado de la función original no conjugada.

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Para la versión conjugada podemos generar el esquema de Schroeder (ver por ejemplo wikipedia) para la implementación de la iteración (que, si $t$ es real y $t \in (e^{-1},e) $ puede incluso iterarse fraccionadamente) . Con la introducción de la función Schroeder $\sigma()$ y su inversa $\sigma^{-1}()$ esto significa calcular para alguna iteración la "altura" $h$ : $$ y_{k+h} = \sigma^{-1} (u^h \cdot \sigma (y_k)) \tag 1$$
La trayectoria original $\{z_0,z_1,z_2,\cdots \}=\{1,b,b^b, \cdots \}$ (posiblemente convergiendo a $t$ ) se conjuga con $\{y_0,y_1,y_2,\cdots \}=\{1/t-1,b/t-1, \cdots \}$ (posiblemente convergiendo a $0$ que es $0 =t/t-1$ por la conjugación) . Insertando $y_0$ en la ecuación de Schroeder (1) tenemos $$ y_{h} = \sigma^{-1} (u^h \cdot \sigma (y_0) \tag 2$$
La iteración "altura" $h$ ocurre aquí sólo en el exponente de $u$ .
La función Schroeder $\sigma()$ tiene una serie de potencia formal invertible para $|u| \ne 1$ con término constante $s_0=0$ .

Ahora bien, si $|u| \lt 1$ entonces para $h$ yendo hacia el infinito positivo el cofactor $u^h$ disminuye a cero y la expresión completa da $$ \sigma^{-1} ( 0 ) = 0 \tag 3$$ y la conjugación da $ (0+1)\cdot t = t$ que es el punto fijo $t$ de la iteración original.

Así que esto debería ser suficiente para otra prueba de convergencia (según el título del PO) "por su cuenta" .

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Los problemas ocurren, si $|u|=1$ .

En los denominadores de los coeficientes $s_k$ de la función Schroeder $\sigma(y) = s_1 y/1! + s_2 y^2/2! + s_3 y^3/3! + ... + s_k y^k/k! + ... $ tenemos productos de $(u^i-1)$ para $i=1..k$ Así que si $u=1$ o algún $u^i =1$ todos los coeficientes siguientes se vuelven singulares y la función de Schroeder $\sigma()$ no existe para tal $u$ donde para algunos $k \in \mathbb N^+$ tenemos $u^k=1$ . (para una mayor explicación de esto, véase mi ensayo iteración funcional (pdf) explícitamente para los detalles de los denominadores pg 25/26 o más concisamente el otro ensayo Eigendecomposition (html) )

Sin embargo, cuando $|u|=1$ y $u=\exp(2 \pi î /c)$ con algunos irracionales $c$ los denominadores de los coeficientes de $\sigma()$ no muestran que las singularidades y otros análisis basados en el mecanismo de Schroeder con la conjugación a $y_k$ puede ser posible de esta manera.

Observación: desgraciadamente esta inexistencia de un $\sigma()$ para $u=\exp(2 \pi î /c)$ con $c$ racional no permite analizar por este ansatz la razón, por qué entonces también se produce la convergencia. En caso de que encuentre alguna idea operativa para esto voy a añadir esto aquí, aunque la pregunta del OP no está en este punto.