En mi libro de Álgebra Abstracta me piden que responda a la siguiente pregunta.
Dejemos que $gcd(a,n)=d$ y $gcd(b,d) \neq 1$ . Demostrar que $ax \equiv b \space(mod \space n)$ no tiene solución.
En cuanto leí esto me estructuró como falso ya que estudié estas cosas en Teoría de Números, se me ocurrió el siguiente contraejemplo. Sea $a=24$ $n=10$ $b=6$ entonces $d=gcd(24,10)=2$ y $gcd(2,6)=2 \neq 1$ Sin embargo, $x=4$ es una solución.
¿Me he perdido algo con esta pregunta o simplemente está mal?
Sí, tienes razón. Se equivocaron en el libro. Nunca sabremos qué se quiso decir, pero los comentarios dan un par de posibilidades. Ambos $ gcd(b,d)=1$ y $gcd(b,d)\ne d$ habría funcionado.
Cuando $gcd(b,d)=d$ tenemos múltiples soluciones. Podemos pensar en este caso como un "acaparamiento" de todas las soluciones. En su ejemplo $24x\equiv 6 \bmod 10$ se resuelve con $x\equiv 4$ y también $x\equiv 9$ .
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