¿Existe una caracterización de r(M) por cohomología local en lugar de Ext

Question

Para un anillo local noetheriano $(R,m)$ y un número finito de $R$ -Módulo $M$ con $\operatorname{depth} M=t,$ tipo de $M$ se define como $r(M):=dim_{R/m}Ext^t \ (R/m, M).$

¿Existe una caracterización de $r(M)$ por cohomología local en lugar de $Ext$ ?

Si es así, ¿puede dar una referencia?

Gracias.

Answer 1

Creo que (es bien sabido que) $r(M) = \dim \mathrm{Soc}(H^t_{\mathfrak{m}}(M)) = \ell (\mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, H^t_{\mathfrak{m}}(M)))$ .

En efecto, elija un $M$ -secuencia regular $x_1, \ldots, x_t$ de $M$ . Tenemos $$\mathrm{Ext}^t_R(R/\mathfrak{m}, M) \cong \mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, M/(x_1, \ldots, x_t)M).$$ Procedemos por inducción en $t$ que $\mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, H^t_{\mathfrak{m}}(M)) \cong \mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, M/(x_1, \ldots, x_t)M)$ . El caso $t = 0$ se desprende de $\mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, H^0_{\mathfrak{m}}(M)) \cong 0:_M \mathfrak{m} \cong \mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, M)$ . Para $t>0$ Consideremos la secuencia exacta corta $$0 \to M \overset{x_1}{\to} M \to M/x_1M \to 0.$$ Aplicando el functor de cohomología local tenemos la secuencia exacta con nota que $\mathrm{depth} M = t$ y $\mathrm{depth} M/x_1M = t-1$ $$0 \to H^{t-1}_{\mathfrak{m}}(M/x_1M) \to H^t_{\mathfrak{m}}(M) \overset{x_1}{\to} H^t_{\mathfrak{m}}(M) \to \cdots.$$ Así, $H^{t-1}_{\mathfrak{m}}(M/x_1M) \cong 0:_{H^t_{\mathfrak{m}}(M)}x_1$ . Por lo tanto, $$\mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, H^{t-1}_{\mathfrak{m}}(M/x_1M)) \cong (0:_{H^t_{\mathfrak{m}}(M)}x_1) : \mathfrak{m} = 0:_{H^t_{\mathfrak{m}}(M)} \mathfrak{m} \cong \mathrm{Hom}(R/\mathfrak{m}, H^t_{\mathfrak{m}}(M)).$$ Ahora la afirmación se desprende de la hipótesis inductiva.