Hallar el determinante mediante operaciones elementales de fila

Question

Tengo un problema para encontrar el determinante de la siguiente matriz utilizando operaciones elementales de fila. Sé que el determinante es -15 pero estoy confundido sobre cómo hacerlo usando las operaciones elementales de fila. Aquí está la matriz
$$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}$$

Gracias

Answer 1

Nótese que el determinante de una matriz triangular inferior (o superior) es el producto de sus elementos diagonales. Utilizando este hecho, queremos crear una matriz triangular a partir de su matriz \begin {bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -3 \end {bmatrix} Así, comenzaré con la última fila y la restaré de la segunda fila para obtener \begin {bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end {bmatrix} Ahora, quiero deshacerme del $2$ en la primera fila. Así, multiplico la última fila por $2$ y restarlo de la primera fila para obtener \begin {bmatrix} 0 & 1 & 16 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end {bmatrix} Finalmente, resto la segunda fila de la primera para obtener \begin {bmatrix} 0 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end {bmatrix} Ahora tenemos $$\det \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 0 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}$$

Ahora, transformaré la matriz RHS en una matriz diagonal superior. Puedo intercambiar la primera y la última fila. Intercambiando dos filas cualesquiera cambia el signo del determinante, y por lo tanto $$\det \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} = -\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 15 \end{bmatrix}$$

La matriz del lado derecho es ahora una matriz triangular superior y su determinante es el producto de sus elementos diagonales, que es $15$ . Con el signo menos, el $\det$ de nuestra matriz inicial es pues $-15$ .

Answer 2

Sugerencia : utilizan las siguientes operaciones elementales de fila $$ -2R_{3}+R_{1}\to R_{1}$$$$\text {y} $$$$-R_{3}+R_{2}\to R_{2}$$$$\det\begin {bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -3 \end {bmatrix}= \det\begin {bmatrix} 0 & 1 & 16 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end {bmatrix}=(-1)^{3+1} \det\begin {bmatrix} 1 y 16 \\ 1 & 1\ \end {bmatrix}=-15$$