¿Cómo integrarse? $\int \frac{1}{\cos (x)+\sqrt{2}} \, dx$

Question

Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema.

P: ¿Cómo se integra? $$\int \frac{1}{\cos (x)+\sqrt{2}} \, dx$$

Answer 1

Pista. Deja que $t=\tan(x/2)$ entonces $dx=2dt/(1+t^2)$ , $\cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)$ y $$\int \frac{1}{\cos (x)+\sqrt{2}} \, dx=\int \frac{2dt}{1-t^2+\sqrt{2}(1+t^2)}=\int \frac{2dt}{(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)t^2}.$$

Answer 2

Bueno, una forma más general:

$$\mathscr{I}_{\space\text{n}}:=\int\frac{1}{\text{n}+\cos\left(x\right)}\space\text{d}x\tag1$$

utilizar una sustitución:

$$\text{u}:=\frac{\sqrt{\text{n}-1}}{\sqrt{\text{n}+1}}\cdot\tan\left(\frac{x}{2}\right)\tag2$$

Así que, tenemos:

$$\mathscr{I}_{\space\text{n}}=\frac{2}{\sqrt{\text{n}+1}\cdot\sqrt{\text{n}-1}}\int\frac{1}{1+\text{u}^2}\space\text{d}u=\frac{2}{\sqrt{\text{n}+1}\cdot\sqrt{\text{n}-1}}\cdot\arctan\left(\text{u}\right)+\text{C}=$$ $$\frac{2}{\sqrt{\text{n}+1}\cdot\sqrt{\text{n}-1}}\cdot\arctan\left(\frac{\sqrt{\text{n}-1}}{\sqrt{\text{n}+1}}\cdot\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\text{C}\tag3$$

Así, cuando $\text{n}=\sqrt{2}$ :

$$\mathscr{I}_{\space\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{2}+1}\cdot\sqrt{\sqrt{2}-1}}\cdot\arctan\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}\cdot\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\text{C}=$$ $$2\cdot\arctan\left(\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\text{C}=\int\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\left(x\right)}\space\text{d}x\tag4$$