Encuentra la solución general de la ecuación diferencial: $\frac{d^2y}{dt^2}-4t \frac{dy}{dt}+(4t^2-2)y=0$

Question

Q. Utilizando el método de reducción, encuentre la solución general de la ecuación diferencial:

$$\frac{d^2y}{dt^2}-4t \frac{dy}{dt}+(4t^2-2)y=0$$ y $$ y_1(t)=e^{t^2}$$

Procedí por la forma en que mi profesor nos enseñó, dijo encontrar $u(t)$

$$u(t)=\frac{e^{-\int -4t dt}}{(e^{t^2})^2}=\frac{e^{2t}}{e^{2t^2}}=e^{2t-2t^2} $$

Entonces tenemos que encontrar $y_2(t)$ donde

$$ y_2(t)=e^{t^2} \int e^{2t-2t^2} $$

pero tengo problemas para integrar la parte derecha, así que o bien he hecho algo mal o simplemente estoy atascado.

Si alguien quiere la respuesta, lo es:

$$ y(t)=(c_1+c_2t)e^{t^2} $$

Answer 1

Si se utiliza el método de reducción asumiendo

$$ y_2=u y_1 = u(t)e^{t^2} $$

y volviendo a enchufar la oda deberías obtener

$$ u''(t) = 0 $$

que sugiere una posible solución $u(t)=t$ lo que implica $y_2=uy_1=te^{t^2}$ . Entonces la solución general de la oda es

$$ y(t) = c_1 e^{t^2}+c_2te^{t^2} = (c_1+c_2 t)e^{t^2}. $$

Answer 2

dejar $$y = e^{t^2}, \frac{dy}{dt} = 2ty, \frac{d^2 y}{dt^2} = 2y + 2t\frac{dy}{dt} = 2y + 4t^2y$$ entonces tenemos $$ Ly = \frac{d^2 y}{dt^2} - 4t\frac{dy}{dt}+(4t^2 - 2)y=2y + 4t^2 y -4t(2ty)+(4t^2 - 2)y = 0.$$

hemos comprobado que $$L\left(e^{t^2} \right)= 0.$$ buscaremos una segunda solución de la forma $$y = e^{t^2}u,\, y' = 2te^{t^2}u+e^{t^2}u',\, y'' = 2e^{t^2}u + 4t^2e^{t^2}u+4te^{t^2}u' + e^{t^2}u''$$ ajuste $$\begin{align} 0 = Ly &= 2e^{t^2}u+4t^2e^{t^2}u+4te^{t^2}u' + e^{t^2}u'' -4t\left( 2te^{t^2}u+e^{t^2}u' \right) + (4t^2 -2)e^{t^2}u \\ &=u''+u'\left(4t-4t\right) +u\left(2+4t^2-8t^2+4t^2 - 2\right)\\=u'' \end{align}$$

una solución particular es $$u = t,\, y = te^{t^2} \text{ second independent solution.} $$