La inclusión es una equivalencia homotópica

Question

Dado $B\subseteq X$ con ambos $B$ y $X$ contractible. ¿Cómo demostrarías que el mapa de inclusión $i:B \to X$ es una equivalencia de homotopía?

Gracias

Answer 1

Dejemos que $H_t$ sea la homotecia entre $Id_B$ y el mapa constante $f_B(x)=b$ y $G_t$ la homotopía entre la identidad de $X$ y el mapa constante $f_X(x)=b$ . Considere $g:X\rightarrow B$ definido por $g(x)=b$ .

$g\circ i=f_B$ y $i\circ g=f_X$

Answer 2

Además del mapa específico que dio Tsemo Aristide, existe el siguiente teorema:

Si $Y$ es contractible, entonces dos mapas cualesquiera $X\to Y$ son homotópicos (de hecho son nulo-homotópicos).

Referencia: Por ejemplo 'Introducción a la Topología Algebraica' de Rotman Teorema 1.13

La prueba no es difícil.

Teniendo en cuenta esto, la declaración es completamente trivial, ya que $B$ y $X$ son contractibles. Además, todo mapa continuo $B\to X$ es una equivalencia homotópica.