¿Forman los polinomios de Chebyshev un conjunto completo de funciones independientes? En caso afirmativo, ¿qué podemos decir de sus versiones desplazadas? Por ejemplo, los polinomios de Chebyshev desplazados del primer tipo se definen como $$T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1)$$ u otras posibles cagadas como por ejemplo $T_{n}\left(\frac{x^2}{2}-1\right)$ .
Respuestas
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Nerdfighter
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Supongo que por completa te refieres a un base para el conjunto de polinomios.
Sí, los polinomios de Chebyshev forman un conjunto completo de funciones independientes. Eso debería estar claro teniendo en cuenta la relación de recurrencia. Por ejemplo, para el primer tipo, esa relación es \begin {align} T_0(x) & = 1 \\ T_1(x) & = x \\ &\ \ \vdots\\ T_{n+1}(x) & = 2xT_n - T_{n-1}. \end {align} El grado del polinomio $T_n$ es $n$ por lo que cualquier polinomio puede expresarse como una combinación lineal del $T_n$ y si $c_0 T_0 +\cdots + c_n T_n = 0$ , entonces cada $c_i$ es cero. Véase también el Artículo de Wikipedia .
Lo mismo ocurre con el cambio $T^*_n(x) = T_n(2x-1)$ porque el grado de $T^*_n$ sigue siendo $n$ y se aplica el argumento anterior.
El cambio $T^*_n(x^2/2 - 1)$ genera polinomios independientes, pero no forman una base para los polinomios. Por ejemplo, todos los $T^*_n$ en este caso son de grado par, por lo que no se pueden formar polinomios de grado impar a partir de una combinación lineal de los $T^*_n$ .
Yuri Negometyanov
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Polinomios de Chebyshev del primer tipo $\;T_n(x)\;$ se definen en el intervalo $\;[-1,1]\;$ y presenta una de las familias populares de los polinomios ortogonales clásicos, con las siguientes características comunes:
- la familia es la base polinómica ortogonal con el peso $\;\dfrac1{\sqrt{1-x^2}};\;$
- son relaciones de recurrencia conocidas, ecuaciones diferenciales, función generadora, etc;
- son expresiones conocidas a través de otros polinomios ortogonales y de la función hipergeométrica.
Además, tienen algunas características específicas:
- presentaciones mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas;
- existencia de las funciones inversas con la forma cerrada en las funciones elementales;
- conjunto acotado de valores $\;T_n(x)\in[-1,-1],\;$ donde todos los extremos tienen los valores $\;\pm1.\;$
Fórmulas conocidas $$T_3(x)=4x^3-3x=\cos(3\arccos x) = -\sin(3\arcsin x) = \cosh(3\operatorname{arccosh} x)$$ son la base de las soluciones "trigonométricas" de las ecuaciones cúbicas.
La propiedad de "delimitación" es la base de la "economización de series", que se utiliza para la aproximación polinómica de funciones. La idea del método es la presentación de series conocidas mediante polinomios de Chebyshev. La eliminación de los polinomios de alto orden conduce a los errores de aproximación constantes entre el dominio $[-1,1].$
La idea de los polinomios de Chebyshev desplazados es la transformación lineal del dominio a $[0,1],$ que es más adecuado para la técnica de economización. Así, tienen todas las propiedades descritas con las correspondientes diferencias en la parametrización.
Por lo tanto, los polinomios de Chebyshev desplazados son la forma de aplicar la característica de "delimitación" de los polinomios de Chebyshev del primer tipo.
