Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo.
Mi definición para el determinante sobre $M_n(R)$ se define inductivamente como $\det_{n+1}(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j}A_{1j} \det_n(\tilde{A_{ij}})$ .
(Aquí, $(-1)$ denota su signo, no significa el inverso aditivo de una unidad)
( $\tilde{A_{ij}}$ viene dada por la eliminación de $i$ -de la fila y $j$ -en la columna de $A$ )
Con esta definición, he demostrado lo siguiente:
Dejemos que $A\in M_n(R)$
Entonces, $\forall x\in R$ , $\det(xA)=x^n \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}$ .
Sin embargo, quiero demostrar que $\det(A)$ es exactamente $\sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}$ . (Creo que esto es cierto)
Si $R$ tiene una unidad, entonces esto es trivial. Sin embargo, si no contiene una unidad, ¿cómo puedo demostrarlo?
