La derivada en un punto de $x$ se define como: $\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}h$
¿Pero si $h\to0$, no significa: $\frac{f(x+0) - f(x)}0 = \frac0{0}$ que no está definido?
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Para $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}h\tag{1}$$ at no point do we ever substitute $h=0$. We can only say that in the limit $h$ tiende a cero; esta es la razón por la que existe el límite de la notación directamente en frente de la fracción.
Considere el siguiente gráfico, que es idéntica a la representación gráfica de la Ecuación ($(1)$:
Usted puede ver en el gráfico que la Secante de la línea, que es la línea que interseca la curva azul en $(x,f(x))$ y a las $(x+h,f(x+h))$ es una aproximación a la derivada (tangente) de la curva azul en $(x,f(x))$.
Ahora imagine $h$ más y más pequeño hasta que, finalmente, se convierte en infinitamente pequeñas; las que llamamos "infinitesimal' (a grandes rasgos este es tan pequeño como usted posiblemente puede conseguir, pero todavía mayor que cero).
En este punto se puede ver que la línea Secante se aproxima a la de la Tangente a la línea o de la derivada en $(x,f(x))$ $h$ tiende a cero. Por lo tanto, la aproximación de la línea Secante a la recta Tangente es óptimo en $(x,f(x))$ y este es el significado exacto de la Ecuación ($(1)$.
Andreas Blass
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Usted parece confundir las dos nociones de "tome el límite como $h$ enfoques $0$" y "enchufe en $0$ $h$". En algunas situaciones, el último es una manera fácil de hacer el primero. Pero en otras situaciones, incluyendo la definición de derivado, este último es (como observado) absurdo, así que tienes que hacer realmente el anterior. (El primer paso para hacer el primero es, por supuesto, para asegurarse de que entiendes bien el concepto de límite.)
Kevin VW
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Cuando me enseñó Cálculo, tengo esta pregunta mucho. Un ejercicio simple que ayudado a muchos estudiantes a entender el concepto de límite es la siguiente: elija su favorito función, por ejemplo,$\sin(x)$, luego de evaluar la parte fraccionaria del límite con una calculadora de la elección de algunas pequeñas $h$ y un valor de $x$. Por ejemplo, con $x=1$$h=0.1$, obtenemos: $${\sin(1.1) - \sin(1) \over{0.1} }= 0.497364$$ A continuación, elija un pequeño $h$, pero ten $x$ de la misma. Por ejemplo, para $h=0.01$: $${\sin(1.01) - \sin(1) \over{0.01} }= 0.536086$$ Y seguir con más y más pequeños los valores de $h$. \begin{array}{|c|c|} \hline h & (\sin(x+h) - \sin(x))/h \\\hline 0.1 & 0.497364 \\\hline 0.01 & 0.536086 \\\hline 0.001 & 0.539881 \\\hline 0.0001 & 0.540260 \\\hline 0.00001 & 0.540298 \\\hline 0.000001 & 0.540302 \\\hline \end{array} Se puede ver claramente que el valor está convergiendo a la derivada, que es: $$\cos(1) = 0.5403023059$$
Agnishom Chattopadhyay
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En realidad, el $ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $ es el valor que $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ enfoques cuando se mantenga la reducción de la $h$ tanto como usted puede.
Aquí es cómo mi maestro me explicó la idea:
Creo que de dibujar una tangente. Es una línea de tocar a una curva en un solo punto.
Pero, ¿cómo podría ser eso posible? Dos puntos determinan una recta.
La tangente es el caso límite de una secante, donde los dos puntos de cierre en cada uno de los otros.
Como él dijo, y señaló correctamente, la expresión no tiene sentido si $h=0$.
He aquí otra paradoja de que Zenón se utiliza:
Supongamos que una Flecha es lanzada que viaja de a a B.
Considerar cualquier instante.
Ya, no hay tiempo que transcurra durante el instante en que la flecha no se mueve durante el movimiento.
Pero todo el tiempo de vuelo se compone de instancias solos.
Por lo tanto, la flecha no debe haber movido.
La clave aquí es introducir la idea de la velocidad, que es una vez más, un límite, la distancia recorrida por la duración como la duración de los enfoques de un instante (tiende a cero).
Jonik
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Piensa en qué tan rápido se desvanecen algunos términos de $f(x+h)-f(x)$ comparado con $h$ (no importa cuán pequeño %#% es el #%), mientras que otros son independientes de él.
En particular, $h>0$ consiste en el derivado de tiempos $f(x+h)-f(x)$ (por lo tanto independiente de $h$), además de un sublinear término $h$ que tiende más rápido a 0 $u(h)$, es decir, $h$.
Para ilustrar esto, tomar $\lim_{h \to 0} \frac{u(h)}{h} = 0$. Entonces $f(x) = x^3$ $
El término derivado es $$f(x+h)-f(x) = x^3 + 3xh^2 + 3x^2h + h^3 - x^3 = 3x^2 h + h^2(3x + h)$, $3x^2$satisfacción $u(h) = h^2(3x+h)$. Así, $\lim_{h \to 0} \frac{u(h)}{h} = 0$ $
