Demostrar que $\{(x_1,x_2,x_3):x_1^6+x_2^5+x_3^4=0\}$ no es múltiple.

Question

Demostrar que $\{(x_1,x_2,x_3): x_1^6+x_2^5+x_3^4=0\}$ no es un colector liso.

Por supuesto, sólo $(0,0,0)$ es problemático. Supongo que tenemos que demostrar que alrededor de $(0,0,0)$ No podemos presentar una variable como función inversa de otras dos variables, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Nuestro conjunto se define como los ceros de un polinomio $F(x_1,x_2,x_3)$ . Un punto regular es tal que $\left(F_{x_1},F_{x_2},F_{x_3}\right)\neq (0,0,0)$ . Es evidente que $(0,0,0)$ es un punto singular.

Answer 2

Por supuesto, sólo $(0,0,0)$ es problemático. Si el conjunto dado es un colector suave, entonces podemos encontrar una función que sea $C^1$ y cerca de $(0,0,0)$ set es la gráfica de esta función. Podemos encontrar fácilmente las funciones sospechosas: $x_1=\pm(-x_2^5-x_3^4)^{1/6}$ , $x_2=(-x_1^6-x_3^4)^{1/5}$ y $x_3=\pm(-x_1^6-x_2^5)^{1/4}$

La primera y la tercera ecuación no son ecuaciones de funciones, porque no tienen soluciones unívocas. La segunda es una ecuación de función $x_2(x_1,x_3)$ pero no tiene derivadas parciales en $(0,0,0)$ Por lo tanto, no es $C^1$ . De ello se deduce que nuestro conjunto no es un colector liso.