El módulo de secuencias eventualmente nulas sobre un álgebra de Jacobson es simple

Question

Consideremos el álgebra de Jacobson $R =k \langle x, y\rangle /(xy − 1)$ , donde $k$ es un campo. Sea $k^ω$ sea el módulo R cuyos elementos son secuencias infinitas en $k$ con $y$ actuando como el operador de operador de desplazamiento, y $x$ el operador de desplazamiento a la izquierda. Quiero demostrar que el submódulo $_{R}M ≤ k^ω$ de secuencias eventualmente nulas es una simple $R$ -submódulo.

Para empezar, dejemos que $N\le M$ sea un submódulo izquierdo no nulo y tome $z\in N-\{0\}$ . Entonces $z=(z_1,z_2,\dots)$ es una secuencia eventualmente nula y $Rx$ es una izquierda $R$ -módulo (e ideal de la izquierda). Sólo tenemos que demostrar $Rz=_{R}M$ .

¿Puede alguien indicarme cómo continuar desde aquí? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Un módulo no nulo $M$ es simple si y sólo si, para cada $z\in M$ , $Rz=M$ .

Dejemos que $z\ne0$ , $z\in M$ . Entonces podemos suponer que el último término no nulo de $z$ es $1$ . Entonces con desplazamientos a la izquierda podemos decir que la secuencia $(1,0,0,\dotsc)\in Rz$ . Por lo tanto, para cada $a\in k$ , $(a,0,0,\dotsc)\in Rz$ . Con los cambios correctos, podemos mover $a$ donde nos plazca.

Una secuencia eventualmente nula es una suma (finita) de secuencias de este tipo.