¿Son los números reales una extensión simple no trivial de otro campo?

Question

¿Existe un subcampo propio $K$ de los números reales y un número real $\theta$ tal que $\mathbb R = K(\theta)$ ?

Hace un rato pensé en esta cuestión preguntándome por la estructura del poset de todos los subcampos de $\mathbb C$ parece y me sorprende que no tenga ni idea de cómo responder.

Answer 1

Esto es imposible.

Si $\theta$ es algebraico sobre $K$ entonces $\Bbb{R}$ tiene grado finito sobre $K$ y así $\Bbb{C}$ tiene grado finito sobre $K$ . Pero esto es imposible: según Artin-Schreier, si el cierre algebraico de un campo es una extensión finita, su grado es $1$ o $2$ .

Si $\theta$ es trascendental sobre $K$ entonces $\Bbb{R}=K(\theta)$ no contiene una raíz cuadrada de $\theta$ o de $-\theta$ . Pero, por supuesto, esto es imposible: todo real positivo tiene una raíz cuadrada real.