encontrar $\sigma^2$

Question

Una permutación de un conjunto

Answer 1

Si $\sigma=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 6 & 5 \end{matrix} \right)$ entonces tienes razón, $\sigma^2$ es la identidad, es decir $$\sigma^2=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right).$$

Por otro lado, si $\sigma^2=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 6 & 5 \end{matrix} \right)$ y tienes que encontrar $\sigma$ entonces el problema es un poco más difícil.

Utilizando la notación de ciclo, $\sigma^2$ puede escribirse como $(1,2)(3)(4)(5,6)$ . Ahora une los dos $2$ -ciclos en uno $4$ -y obtenemos $\sigma=(1,5,2,6)(3)(4)$ Es decir $$\sigma=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 3 & 4 & 2 & 1 \end{matrix}\right).$$ Otra solución es $\sigma=(1,5,2,6)(3,4)$ donde nos unimos en un $2$ -ciclo los dos puntos fijos $3$ y $4$ Es decir $$\sigma=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right).$$

Answer 2

OP hay un error tipográfico crucial en su pregunta.

Si la permutación que has escrito es $\sigma^2$ entonces

$$\sigma \in \left\{\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 3 & 4 & 2 & 1 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right) \right\}.$$