¿Existen funciones no constantes $a(z)$ , $b(z)$ , $c(z)$ , $d(z)$ Satisfaciendo a $a(z) \cos (z) + b(z) \sin (z)=c(z) \cos (z) + d(z) \sin (z)$ ?

Question

Estoy un poco desconcertado por la igualdad $$a(z) \cos (z) + b(z) \sin (z)=c(z) \cos (z) + d(z) \sin (z)$$ Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son constantes, entonces $a=c$ y $b=d$ , pero ¿existe una forma más general de funciones $a(z)$ , ..., $d(z)$ que satisfaga esto?

Por cierto, ¿hay algún nombre para estos coeficientes-funciones?

Gracias de antemano.

Answer 1

Considere un vector $\bf u$ y un vector $\bf n$ normal a ella.

Los dos vectores $\bf v = \alpha \bf u + \beta \bf n$ y $\bf w = \alpha \bf u + \gamma \bf n$ tienen el mismo producto punto con $\bf u$ .

Tomando por tanto el vector de rotación $\bf u(z) =(\cos z , \sin z)$ y $\bf n =(- \sin z, \cos z)$ normal a ella, los dos vectores $$ \eqalign{ & {\bf v} = \alpha (z){\bf u} + \beta (z){\bf n} = \left( {\alpha (z)\cos z - \beta (z)\sin z,\;\alpha (z)\sin z + \beta (z)\cos z} \right) \cr & {\bf w} = \alpha (z){\bf u} + \gamma (z){\bf n} = \left( {\alpha (z)\cos z - \gamma (z)\sin z,\;\alpha (z)\sin z + \gamma (z)\cos z} \right) \cr} $$ tienen el mismo producto punto con $\bf u(z)$ es decir, sus componentes, dependiendo de tres funciones cualesquiera $\alpha (z), \beta (z) \gamma (z)$ , son los cuatro coeficientes $a(z),b(z),c(z),d(z)$ que usted solicitó.