Completitud de un poset

Question

Supongamos que tengo un poset $(P,\leq)$ y estoy tratando de demostrar que es completa. Si, para un subconjunto general $S \subseteq P$ He encontrado un candidato $x$ para su supremacía y estoy tratando de demostrar que es tal, ¿tengo razón al decir que es (en general) inválido suponer por contradicción que como otro límite superior $y$ de $S$ tal que $ y < x$ ?

Si $P$ no es un orden total (o, más precisamente, si el conjunto de límites superiores de $S$ no es una cadena), puede ser posible demostrar que $x$ es el menor elemento del subconjunto de límites superiores de $S$ que son comparables con $x$ mientras que hay otros límites superiores no comparables con $x$ que cumplen los mismos criterios. ¿Hay algún ejemplo de esto? No lo sé. realmente cuidado si no hay uno obvio, en última instancia, me gustaría la verificación de que mi razonamiento aquí es correcto.

Este pensamiento se me ocurrió cuando intentaba demostrar que un determinado poset era completo, y procedí de la manera que estaba acostumbrado en el análisis real (donde $\mathbb R$ con su orden habitual es obviamente un orden total).

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $P=\mathbb{N}\cup\{a,b\}$ , donde $a$ y $b$ son elementos distintos que no están en $\mathbb{N}$ . Dar $\mathbb{N}$ el orden habitual $\le$ , y establecer $n\le a$ y $n\le b$ para cada $n\in\mathbb{N}$ . Haga $a$ y $b$ incomparable. Entonces $a$ y $b$ son ambos límites superiores para $\mathbb{N}$ sin un límite superior menor.

Answer 2

He aquí un ejemplo fácil. Tomemos dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ , cada uno con al menos dos elementos, y que el orden parcial tenga todos en $A$ menos que todos en $B$ pero no hay otras relaciones de orden. En este caso, cada elemento de $B$ es un límite superior de $A$ y además satisface sus criterios, ya que distintos elementos de $B$ son incomparables. Pero $A$ no tendrá un límite superior mínimo, precisamente porque los límites superiores de $A$ son exactamente los elementos de $B$ y estos son incomparables.