¿Por qué el determinante cero fib los vectores de columna dependen linealmente?

Question

<blockquote> <p>El determinante de una matriz cuadrada es cero si y solo si los vectores de columna dependen linealmente.</p> </blockquote> <p>Veo muchas referencias a esto en toda la web, pero no puedo encontrar una explicación real para esto en ninguna parte.</p>

Answer 1

¿Sabe que agregar un múltiplo de una columna a otra columna no cambia el determinante? ¿Ve que si las columnas dependen linealmente, hay una forma de agregar múltiplos de columnas a otras columnas para que una columna se convierta en todos los ceros? ¿Sabes lo que puedes decir sobre el determinante de una matriz que tiene una columna todo cero?

Answer 2

Expandiendo las 2 respuestas dadas anteriormente, ya que para una matriz con filas (o columnas) linealmente dependientes utilizando el escalón de fila para la matriz puede obtener una fila (o columna) que es un vector all zeros. Ahora tome esta fila (o columna) para ser el pivote para el cálculo del determinante. Dado que todo se multiplica por un coeficiente que es cero el determinante es en sí mismo también cero. Espero que esto te ayude a entender.