En la versión traducida de Riemann clásico En el Número de Números Primos menos de una Determinada Cantidad, rápidamente se deriva de la zeta funcional de la ecuación a través del contorno de integración esencialmente como
$$\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\tfrac12\pi s)\zeta(1-s).$$
y dice tres líneas más adelante que puede ser expresado como
$$\xi(s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\xi(1-s).$$
Después de leer MO-Q7656, empecé a preguntarme si, a medida que sus ideas evolucionaron antes de que él escribió el documento, fue el primero construido $\xi(s)$ al darse cuenta de que al multiplicar $\zeta(s)$ $\Gamma(\frac{s}{2})$ introduce un simple poste de $s=0$ lo que refleja el polo de la $\zeta(s)$ $s=1$ a través de la línea de $s=1/2$, y que el otro simple polos de $\Gamma(\frac{s}{2})$ quita los ceros en la línea real de la función zeta. El $\pi^{-s/2}$ puede ser fácilmente determinado como una normalización por toda la función de $c^s$ donde $c$ es una constante, utilizando el complejo conjugado de la simetría de la gamma y zeta fct. sobre el eje real.
Cualquiera que esté familiarizado con la forma en que sus ideas (pensamiento) evolucionado?
(Actualización 5/13/2012) de Riemann en su cuarto la igualdad en su artículo, antes de que él escribe abajo el funcional eqn., ha
$$2sin(\pi s)(s-1)!\zeta(s)=i\int_{+\infty}^{+\infty}\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}dx$$
donde el contorno de los sándwiches de la real positiva del eje y alrededor del origen en el sentido positivo.
Para $m=0,1,2, ...,$ esto da
$$\zeta(-m)=\frac{(-1)^{m}}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{m!}{z^{m+1}}\frac{1}{e^z-1}dz=\frac{(-1)^{m}}{m+1}\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{(m+1)!}{z^{m+2}}\frac{z}{e^z-1}dz$$
de donde se puede ver, si usted está familiarizado con la exponencial de la generación de la fct. para los números de Bernoulli, que la integral se desvanece incluso para $m$. Riemann era, sin duda familiarizado con estos números y los estados que la integral de la relación se da implica la desaparición de la $\zeta(s)$$m$, incluso (pero no da explícito de la prueba). Edwards en Riemann Zeta Función (pg. 12, Dover ed.) incluso se especula con la posibilidad de que ".. bien podría haber sido este problema de la derivación de (2) [de Euler con la fórmula de la $\zeta(2n)$ positivos $n$] de nuevo que el led de Riemann para el descubrimiento de la ecuación funcional ...."
Riemann da dos pruebas de la fct. eqn.--el primero basado en el contorno de la integración y de las singularidades de $\frac{1}{e^z-1}$, la segunda, en la theta de la función. Edwards maravillas:
"Desde la segunda prueba representa la primera prueba totalmente innecesaria, uno se puede preguntar ¿por qué Riemann incluye la primera prueba. Tal vez la primera prueba demuestra que el argumento por el cual se descubrió originalmente la ecuación funcional o tal vez exhibe algunas de las propiedades que fueron importantes en su comprensión de la misma."
De hecho, Riemann de los estados en la página 3 de su artículo, "Esta propiedad de la función [$\xi(s)=\xi(1-s)$] me indujo a introducir, en lugar de $(s-1)!$, la integral de la $(s/2-1)!$ en el término general de la serie" de zeta. Y, a continuación, se procede a introducir la Jacobi theta función.
Editar Dic 18, 2014
En la década de 1820, tanto Abel y Plana publicado por separado lo que ahora se llama Abel-Plana de la fórmula (ver Wikipedia). En el título de la Plana, él menciona que la Bernoulliens. Me pregunto cuánto de Riemann fue influenciado por estos documentos.
