Si cada $A_i$ contiene algunos $B_j$ entonces $\cap B_j \subseteq \cap A_i$

Question

Dejemos que $ \{ A_i \}_{i\in I} $ y $ \{ B_j \}_{j\in J} $ sean dos familias de conjuntos indexados. Demuestre que si $ \forall i \in I \exists j \in J$ tal que $B_j \subseteq A_i $ entonces $ \bigcap_{j \in J } B_j \subseteq \bigcap_{i \in I } A_i $

Así es como empecé:

$$ x \notin \bigcap_{i \in I } A_i \implies \neg(x \in \bigcap_{i \in I } A_i) $$ $$ \implies \neg(\forall i \in I x \in A_i) \implies \exists i \in I x \notin A_i $$ $$ \implies \exists j \in J x \notin B_j $$ $$ \equiv \forall j \in J x \in B_j \implies \forall i \in I x \in A_i $$ $$ \equiv x \in \bigcap_{j \in J } B_j \implies x \in \bigcap_{i \in I } A_i $$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, lo que tiene es correcto. El paso $$ \exists i \in I x \notin A_i \implies \exists j \in J x \notin B_j, $$ como usted dice, viene del hecho de que cada $A_i$ contiene algunos $B_j$ . Así que si $x$ no está en $A_i$ entonces que $A_i$ contiene algunos $B_j$ y $x$ no debe estar en $B_j$ o bien.

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Tenga en cuenta que las pruebas escritas con símbolos suelen ser mucho más difíciles de leer que las escritas con palabras; la mayoría de los lectores (y calificadores :) ) apreciarán más palabras.

Prueba en palabras: Dejemos que $x \in \cap B_j$ sea un elemento arbitrario de la intersección. Queremos demostrar $x \in \cap A_i$ por lo que debemos demostrar que $x \in A_i$ para todos $i \in I$ .

Ahora, arregla algunos $i \in I$ . Por la condición que se nos da, hay un $j \in J$ tal que $B_{j} \subseteq A_i$ . Desde $x \in \bigcap_{j' \in J} B_{j'}$ En particular $x \in B_j$ . Por lo tanto, $x \in A_i$ . $\square$