Entender la definición de un minimizador local

Question

¿Qué significan las siguientes anotaciones?

Por lo que he entendido,

Supongamos que $f$ es una función que toma $n$ valores reales y escupe un valor real donde esos valores reales de entrada están limitados por el conjunto $\Omega$ que a su vez es un subconjunto propio de $\mathbb{R}^n$ (es decir, un conjunto de $n$ números reales).

Un punto $x^*$ (diferente de $\vec x$ y que es un miembro del conjunto $\Omega$ ) es un local $minimizer$ de $f$ si existe un valor positivo $\varepsilon$ tal que:

1. $f(x^*)$ siempre está dentro de $f(x)$ ¿dónde?
2. ¿Qué es? $\varepsilon$ ?

¿Puede alguien completar esto?

Answer 1

(1.) Puedes pensar en $x^*$ como el punto en $\Omega$ donde $f$ alcanza un mínimo local.

Por ejemplo, $f(x)=x^2+1$ alcanza un mínimo (local) en $0$ , donde $\Omega=[-1,1]$ . El símbolo $x^*$ es $0$ en este entorno.

(2.) El símbolo griego $\epsilon$ es el radio de la bola $B$ centrado en $x^*$ donde cada punto $x$ en $B$ y $\Omega$ satisface $f(x)\ge f(x^*)$ . Es exactamente en este sentido que $x^*$ es un "minimizador local" de $f$ .

Aquí la bola centrada en $y$ de radio $r$ , que se suele denominar $B(y,r)$ es $\{x\in \mathbb{R}^n:\Vert x-y\Vert<r\}$