¿Por qué es $P(X>x)=\int_x^{\infty}f_X(y) \ dy?$

Question

¿Puede alguien explicar intuitivamente por qué es que $$P(X>x)=\int_x^{\infty}f_X(y) \ dy?$$

No veo cómo puedo interpretar la integral como un área. ¿Área de qué? ¿Qué es $f_X(y)$ en este caso ¿por qué integrar con el $y$ si tenemos una función de $x$ en el lado izquierdo? Si multiplicamos ambos lados por $-1$ obtenemos

$$-(1-P(X<x))=-1+F_X(x)=\int_\infty^xf_X(y) \ dy,$$

pero esto no tiene ningún sentido :S.

Answer 1

Si piensas en un descreto variable aleatoria $X$ con una distribución de probabilidad $f(X)$ Creo que es muy intuitivo y claro que la probabilidad de que esa variable aleatoria sea más (o menos) que algún valor debe definirse como $$P(X\geq x_k)=\sum_{x_i\geq x_k}^nf(x_i)$$ si queremos $P(X\leq x_k)$ simplemente invertimos el signo de la desigualdad. Esto significa, por ejemplo, que si queremos saber lo siguiente

¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 al lanzar un dado?

podemos calcular fácilmente. Sabemos que la distribución de probabilidad de un lanzamiento de dados es una probabilidad uniforme (para decirlo de forma sencilla: cada número del dado tiene la misma probabilidad de salir de un lanzamiento aleatorio no sesgado). Así que nuestra distribución de probabilidad es $$f(X) = \frac{1}{6}$$ a partir de esto podemos evaluar la respuesta a nuestro problema $$P(X>4) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) = \sum_{k=0}^4 f(k) = {4\over 6} = {2\over 3}$$

Bastante simple. Hay muchas distribuciones discretas: Bernoulli, geométrica, binomial, de Pascal, etc. Pero ¿qué pasa si nuestra variable aleatoria no es discreto ? (este caso es muy interesante, por ejemplo, la distribución gaussiana). Si la variable aleatoria se distribuye con una continuo distribución de probabilidad lo que tenemos es que $$\underset{\uparrow \\ \text{discrete}}{f(x_i)}\longrightarrow \underset{\uparrow\text{continuous}}{f_X(x)dx} \\\underset{\uparrow \\ \text{discrete}}{\sum_i}\longrightarrow \underset{\uparrow\text{continuous}}{\int_X} $$ nosotros no puede ¡de ninguna manera sumar las probabilidades individuales si la variable es continua! Se puede imaginar claramente que en un intervalo, por ejemplo $[0,2]$ hay infinidad de puntos, así que $P(X\in [0,2])$ ¡tiene infinitos valores que sumar! Por eso calculamos el área bajo la distribución de probabilidad: es la clara "continuación" de la suma discreta a la suma continua.

La razón detrás de la $y$ en la integral es sólo porque la distribución acumulativa, por ejemplo $P(X>x)$ es en función de $x$ Así que para no confundirnos entre la variable sobre la que integramos y la variable sobre el límite de la integral, simplemente le cambiamos el nombre. Sería bastante confuso leer algo como $$P(X>x) = \int_\color{blue}{x}^\infty f_X(\color{red}{x})dx$$ porque el rojo $x$ no es lo mismo que el $blue$ Si cambiamos el nombre al rojo $x$ está claro que no es un problema porque es una variable sobre la que estamos integrando. Después de la integración esa variable desaparecerá. Solo hay que cambiarle el nombre, llamarlo como sea, a mi personalmente me gusta el $x'$ "notación" $$P(X>x) = \int_x^\infty f_X(x')dx'$$ pero si lo llamas "Goofy", no cambiará mucho $$P(X>x) = \int_x^\infty f_X(\text{Goofy})d\text{Goofy}$$ Por qué la integral es la forma de calcular un área es otra historia, ¡demasiado larga para escribirla! Pero hay muchas buenas fuentes en Internet

Answer 2

$P\{X \leq x\}=\int_{-\infty} ^{x} f(t) \, dt$ . Sinve $\{X>x\}$ es el complemento de $\{X\leq x\}$ obtenemos $P\{X>x\}=1-P\{X\leq x\}=1-\int_{-\infty} ^{x} f(t) \, dt=\int_x ^{\infty} f(t) \, dt$ porque $\int_{-\infty} ^{\infty} f(t) \, dt=1$

Answer 3

El área se toma sobre la función de densidad. Si algunos puntos son más importantes para nosotros son más densos en nuestro análisis (la función de densidad es mayor en esos puntos) por lo que si integras la función de densidad sobre algún intervalo, estás considerando exactamente aquellos puntos incluidos por la región y desechando los demás. En este caso $$P(x\in I)=\int_{x\in I}f_X(x)dx$$ donde $I$ es un conjunto arbitrario tal que la función de densidad es medible sobre él. Por ejemplo, aquí tenemos $$I=(x,\infty)$$ para algunos $x\in\Bbb R$