Un ejercicio sobre el principio variacional

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert. Sea $l: H \to \mathbb{R}$ sea una función lineal continua. Sea $g: H \to \mathbb{R}$ se define por $$g \left ( x \right )= \frac{\left \| x \right \|^2}{2}-l\left ( x \right )$$ para todos $x$ en $H$ . Demostrar que hay $u \in H$ tal que para todo $x \in H$ obtenemos $l \left ( x \right ) = \langle x, u \rangle$ , donde $\langle .,. \rangle$ es el producto escalar en $H$ .

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Mi amigo tiene una solución para ello: Desde $l$ es linealmente continua, entonces $l$ está acotado. De ello se desprende que $g$ es coercitivo, es decir $g\left ( x \right ) \to \infty$ como $\left \| x \right \| \to \infty $ y por lo tanto alcanza un mínimo (global) en , digamos $u$ . Entonces $$0=g'\left ( u \right ) = u-l'\left ( u \right )$$ Y por lo tanto para todos $x \in H$ tenemos $l\left (x \right ) = \langle x,u \rangle$ .

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Todavía estoy a oscuras sobre algunos problemas:

1. No entiendo la derivada de la función producto escalar, por ejemplo $l\left (x \right )$ como en el caso anterior.
2. Por qué conseguimos que si tenemos $l'\left ( u \right )=u$ entonces $l\left ( x \right )=\langle x,u \rangle$ ?

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Ayúdenme, por favor. Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Es más fácil de entender si se recuerda que $ dg $ es un funcional lineal: $$ dg_x(v) = \langle x, v \rangle - l(v) $$ aquí $ v \in T_xH \simeq H $ es un vector tangente a $ x $ . En el lado derecho, utiliza el hecho de que la derivada de un operador lineal acotado es ella misma.

En otras palabras: $$ g(x+v) = dg_x(v) + O(|v|^2) $$

Ahora bien, la afirmación de que $ g $ tiene un mínimo en $ u $ implica $ dg_u = \langle u, \cdot \rangle - l(\cdot) = 0$ .

EDIT: Por cierto, este es un caso especial del teorema de la representación de Riesz.

Answer 2

Una respuesta equivalente a la de tu amigo, pero sin invocar técnicamente el concepto de diferenciación en espacios lineales normados:

Para $x\in H$ Consideremos la función $h_x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $h_x(t) = g(u+tx)$ . Entonces $h_x$ tiene un mínimo en $t=0$ Así que si $h_x$ es diferenciable allí, entonces $h_x'(0)=0$ es decir, si el límite $\lim\limits_{t\rightarrow 0}{\frac{g(u+tx)-g(u)}{t}}$ existe, entonces es igual a cero.

Ahora \begin {align*}g(u+tx)-g(u) &= \frac {\|u+tx\|^2}{2}-l(u+tx) - \frac {\|u|^2}{2}+l(u) \\ &= \frac {1}{2}( \langle u+tx,u+tx \rangle - \langle u,u \rangle )-(l(u+tx)-l(u)) \\ &=t \langle u,x \rangle + \frac {t^2}{2} \langle x,x \rangle - tl(x) \end {align*} así que $$ \lim\limits_{t\rightarrow 0}{\frac{g(u+tx)-g(u)}{t}} = \lim\limits_{t\rightarrow 0}{\left(\langle u,x\rangle + \frac{t}{2}\langle x,x\rangle - l(x)\right)} = \langle u,x\rangle - l(x). $$ Por lo tanto, $h_x$ es diferenciable en $0$ por lo que el límite anterior es igual a cero, produciendo su resultado.

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Observación: Para $f:H\rightarrow\mathbb{R}$ podemos definir una noción de diferenciabilidad como la siguiente: Decimos que $f$ es diferenciable en $x\in H$ si existe un operador lineal acotado $Df_x: H\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\|f(x+h)-f(x)-Df_x(h)\|}{\|h\|}} = 0 $$ (el límite se toma para $h\in H$ ). Esta noción de diferenciabilidad lleva muchas de las nociones de diferenciabilidad en el espacio euclidiano, y en particular las dos propiedades siguientes serán útiles para este problema:

• Si $f$ es diferenciable en $x$ y también alcanza un extremo local en $x$ entonces $Df_x = 0$ .
• Si $f$ es lineal, entonces para cada $x\in H$ tenemos $Df_x = f$ .

Se puede comprobar que la derivada de $x\mapsto\frac{\|x\|^2}{2}$ en $x$ es $h\mapsto\langle h,x\rangle$ que produce su resultado.

Ver Derivado de Fréchet para más detalles.