Una secuencia muy curiosa de integrales $I_n=\int_0^1 \frac {(x(1-x))^{4n}} {1+x^2}\mathrm dx$

Question

Estaba estudiando el comportamiento de una secuencia muy curiosa de integrales $$I_n=\int_0^1 \frac {(x(1-x))^{4n}} {1+x^2} \,\mathrm dx$$ que da un resultado muy bonito para $n=1$ Intenté calcular para diferentes valores de $n$ pero cada vez lo que obtengo es un $4^{n-1}$ veces $\pi$ junto con una fracción que en el denominador tiene casi un producto a primos consecutivos, ¿Podemos generalizar este patrón? ¡Cualquier ayuda será apreciada!

Aquí hay algunos cálculos:

$$ I_1=22/7-\pi $$

$$ I_2=-\frac {2^2 \cdot 43\cdot 1097} {3\cdot 5\cdot 7\cdot 11 \cdot 13} +4\pi $$

$$ I_3=\frac {13\cdot 31\cdot 13912991} {3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23}-16\pi $$

Answer 1

Este problema se estudia ampliamente en el documento Aproximaciones integrales de $\pi$ con integradas no negativas. por S. K. Lucas . Véase la página 5 para la fórmula explícita.

Answer 2

Bueno, creo que no puedo competir con esta investigación citada por Norbert, pero tal vez esto sea de alguna ayuda. Se puede intentar ampliar $(1-x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}(-x)^k$ Así que $$\int_0^1 \frac {(x(1-x))^{4n}} {1+x^2} \,\mathrm dx= \sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^k\int_0^1 \frac {x^{4n+k}} {1+x^2} \,\mathrm dx$$ Entonces se puede cambiar de variable así $$\int_0^1 \frac {x^{4n+k}} {1+x^2} \,\mathrm dx=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac {t^{2n+\frac{k-1}{2}}} {1+t} \,\mathrm dt$$ La última integral (en forma indefinida) es: $$\int_0^1 \frac {t^{2n+\frac{k-1}{2}}} {1+t} \,\mathrm dt=\frac{2 t^{\frac{1}{2} (k+4 n+1)} \, _2F_1\left(1,\frac{1}{2} (k+4 n+1);\frac{1}{2} (k+4 n+3);-t\right)}{k+4 n+1}$$ Si se tapan los límites, se obtendrá: $$\int_0^1 \frac {(x(1-x))^{4n}} {1+x^2} \,\mathrm dx=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^k\left(\psi ^{(0)}\left(\frac{k}{4}+n+\frac{3}{4}\right)-\psi ^{(0)}\left(\frac{k}{4}+n+\frac{1}{4}\right)\right)$$ donde $\psi ^{(0)}\left(\frac{k}{4}+n+\frac{1}{4}\right)$ es el $0$ -derivada de la función digamma $\psi(z)$ .