¿Cada secuencia corta exacta se divide?

Question

Si tenemos una secuencia exacta corta $0 \to A \to B \to C \to 0$ , entonces el mapa $A \to B$ es inyectiva y el mapa $B \to C$ es suryente.

Por lo tanto, siempre existe una inversa a la izquierda para $i$ y un inverso de la derecha para $j$ . Entonces, ¿toda secuencia corta exacta se divide?

Answer 1

La pregunta ya ha sido respondida en los comentarios, pero para la posteridad debería haber una oficial.

La respuesta es No y un buen contraejemplo es

$$ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$$

Sabemos que esto no puede dividirse porque el lema de división implicaría entonces $\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$ , lo cual es una contradicción porque $\mathbb{Z}$ no tiene torsión.

Es cierto que en la categoría de Conjuntos toda función suryectiva tiene una inversa derecha y toda función inyectiva tiene una inversa izquierda, pero esto no es cierto en la categoría de Grupos Abelianos. En efecto, un inverso a la derecha $\mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}$ del mapa cociente sería cualquier función que envíe $0$ a un número par y $1$ a un número impar, pero esto nunca puede ser un homomorfismo, de nuevo porque $\mathbb{Z}$ no tiene torsión.