Ya he demostrado que $\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$ converge uniformemente en $[\delta,2\pi-\delta ]$ para $\delta>0$
Ahora tengo que calcular el límite de $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n*exp(int)}{n}$ para $t\in (0,2\pi)$
Para $\displaystyle f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{exp(int)}{n}$ He mostrado la convergencia, así que supongo que $\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{exp(int)}{n}x^n$ converge para $x=1$ . ¿Es esto suficiente para decir que $f(t)$ es el límite de $F(x)$ como $x\to1^-$ ?
Yo seguiría con el teorema de Abel de que $F(x)$ es una función continua en $[0,1]$ .
Aquí es donde no avanzo. Debería calcular el resultado de $F(x)$ y luego concluir con el resultado de $g(x)$ . Supongo que la parte imaginaria será $g(x)$ .
¿Son correctos mis pensamientos? ¿Cómo puedo calcular el resultado? ¿Alguna pista?
