Definición de convergencia en el producto y en la topología de caja

Question

Realmente estoy luchando con las diferencias entre la convergencia en el topología del producto y la convergencia en el topología de caja . Más concretamente, tengo algunas dudas sobre las definiciones de esos conceptos.

Lo que he conseguido hasta ahora es la siguiente definición (donde $\mathcal{N}_f$ denota una nidad de $f$ ), donde parece que superficialmente no parecen tan diferentes:

$f_n \to f \in \mathbb{R}^X$ converge en la topología *** $\Longleftrightarrow \forall x \in X \ \forall V \in \mathcal{N}_f \ \exists N(x) \geq 1 : \forall n \geq N, \ f_n \in V$

donde el "***" significa que la definición funciona tanto para el producto Y el caja topología, y la única diferencia radica en la forma en que el $V \in \mathcal{N}_f$ (es decir, el significado de ser un Abrir establecido en el producto y en la caja).

¿Esta intuición es correcta?

Cualquier comentario será bienvenido.
Gracias por su tiempo.

Answer 1

Ciertamente, el definición de convergencia de las secuencias es la misma en cualquier espacio topológico, y es tal y como la planteas.

Qué secuencias convergen a qué, por supuesto, depende de la topología exacta utilizada. Así que es necesario especificar en el contexto.

Answer 2

Intentaré ayudarte con las definiciones generales.

• Usted escribió: "donde $\mathcal{N}_f$ denota una nidad de $f$ ". Cada $V\in\mathcal{N}_f$ es un barrio de $f$ . ( $\mathcal{N}_x$ es alguna base del barrio en $f$ .)

• Su definición general de $f_n\to f$ $$\forall x \in X \ \forall V \in \mathcal{N}_f \ \exists N(x) \geq 1 : \forall n \geq N, \ f_n \in V$$ no es correcta. La definición general de convergencia de una secuencia $x_n\to x$ en un espacio topológico es $$(\forall U\in\mathcal{N}_x)(\exists N)(\forall n\geq N): x_n\in U.$$ Así, la definición general de convergencia de una secuencia $f_n\to f$ en $\mathbb{R}^X$ es $$(\forall U\in\mathcal{N}_f)(\exists N)(\forall n\geq N): f_n\in U.$$

Tienes razón en que la diferencia es el significado de un conjunto abierto en cada topología. Si se especifica $\mathcal{N}_f$ para cada topología (producto/caja/uniforme) en $\mathbb{R}^X$ en la definición general anterior, se obtendrá la noción correspondiente de convergencia en esa topología. Por ejemplo, $f_n\to f$ en la topología del producto es sólo la convergencia puntual: $$(\forall x\in X): f_n(x)\to f(x).$$ Esto se puede obtener de la definición general utilizando la función $\mathcal{N}_f$ para la topología del producto. Para cualquier otra topología en $\mathbb{R}^X$ , basta con aplicar la definición general con la noción adecuada de conjunto abierto.

• Puede que encuentres esto pregunta útil, donde consideran el caso $X = \mathbb{N}$ .

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Convergencia en la topología del producto: Una subbase para la topología del producto en $\mathbb{R}^X$ viene dada por $\{e_x^{-1}(U): x\in\mathbb{R}, \text{$ U $ open in $\mathbb {R} $}\}$ , donde $e_x(f) = f(x)$ es la función de evaluación. Una secuencia $(f_n)$ converge $f_n\to f$ en $\mathbb{R}^X$ si $\forall x\in X$ , $U$ abrir en $\mathbb{R}$ , $f\in e_x^{-1}(U)$ implica que $f_n\in e_x^{-1}(U)$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .

Esta afirmación es equivalente a la afirmación de convergencia puntual que escribí anteriormente. Se puede ver que el $\forall x\in X$ aparece delante para esta topología.