Por lo que $p$ valores hace la serie $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n^{p-4}}$ ¿converger?

Question

Por lo que $p$ valores hace la serie $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n^{p-4}}$ ¿converger?

Creo que es $\forall p\in[1,2)$ pero no puedo mostrarlo.

Answer 1

Dejemos que $p \in \mathbb{R}$ . Entonces $\sum_{n} n^{\frac{p-4}{2}}$ converge si y sólo si $\frac{p-4}{2} < -1$ Es decir, $p < 2$ .

Answer 2

$$Hint*\quad :\quad (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ p } } } ,\quad p\quad is\quad positive\quad ,\quad \quad 0<\quad p\quad \le 1\quad )\quad \rightarrow \quad series\quad is\quad divergent\\ you\quad can\quad reach\quad for\quad the\quad same\quad result\quad by\quad Integeral\quad test\quad $$