Irracionalidad de dos Series

Question

Muestran que si el % de enteros $1<b_1<b_2<\cdots$aumenta tan rápidamente $$\frac{1}{b_{k+1}}+\frac{1}{b_{k+2}}+\cdots<\frac{1}{b_{k}-1}-\frac{1}{b_{k}},\quad k\geq 1,$ $ y luego el número $\sum b_k^{-1}$ es irracional. Demostrar que $\sum_{0}^{\infty}(2^{3^k}+1)^{-1}$ es irracional.

No sé cómo pensar sobre ellos. ¿Nadie podría probar que?

Answer 1

A ver si las referencias en este post por Ragib Zaman son útiles.

Específicamente, el siguiente teorema por Erdős, dice que, para un aumento de la secuencia de $a_k$ de los enteros positivos, en este caso $a_k = 2^{3^k}+1$, de tal manera que $\underset{n\to \infty}{\lim \sup}\; a_n^{\frac1{2^n}} = \infty$ $a_n > n^{1+\epsilon}$ por cada $\epsilon > 0$$n>n_0(\epsilon)$, entonces la suma de $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{a_n}$ es un número irracional.

Es fácil comprobar que se cumplen estas condiciones: $$ \underset{n\to \infty}{\lim \sup} \left( 2^{3^n}+1 \right)^{\frac1{2^n}} = \lim_{n \to \infty} 2^{(3/2)^n} = \infty $$ También está claro que la $a_n$ crece más rápido de lo $n^{1+\epsilon}$ cualquier $\epsilon > 0$, por lo tanto se deduce que el $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{2^{3^n}+1}$ es irracional.