Propiedad integral de Ito

Question

Dejemos que $X$ sea un integrando adaptado, para el cual sabemos que $E[\int_0^T X_s^2 \, ds]< \infty $ . Sea $0≤s<t≤T$ y tenemos algunos $W∈F_s$ ( $F_s$ es $\sigma$ -) y sabemos que $E[\int_s^t W^2X_u^2 \, du]<\infty$ .

Tengo que demostrar que $\int_s^t W X_u \, dB_u=W \int_s^t X_u dBu$ .

Sé que para integradas simples esto se deduce de la definición. También sabemos que para $X$ existe una secuencia de integradas elementales $X^n$ tal que $E[ \int_0^t (X^n_u-X_u)^2 \, du]$ converge a $0$ cuando $n \to \infty$ . De esto se desprende que también se sostiene $E[ (\int_0^t (X^n_u-X_u) \, dB_u)^2]$ .

Me pregunto si puedo demostrar que se mantiene $E[ |(\int_s^t W (X^n_u-X_u) \, dB_u)|] \to 0$ como $n \to \infty$ . (Creo que debería utilizar la desigualdad de Cauchy- Schwarz: $E(XY)^2 \leq E(X^2)E(Y^2)$ pero no estoy seguro de dónde. Si pudiera mostrar esta convergencia en $L^1$ sería suficiente para mi prueba.

Si lo reescribo como $E[E[|(\int_s^t W(X^n_u-X_u) \, dB_u)| \mid F_s]]$ No sé si puedo poner $W$ fuera de la integralidad. ¿Sería correcto?

Cualquier ayuda sería realmente muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Supongamos primero que $W$ está acotado, es decir, que existe $k \geq 0$ tal que $\mathbb{P}(|W| \leq k)=1$ . Para un determinado $X$ elegir una secuencia de integradas elemtarias aproximadas $X^n$ tal que $X_n \to X$ en $L^2(\mathbb{P} \otimes \lambda|_{[0,t]})$ . Por la isometría de Itô y la acotación de $W$ tenemos

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \left| \int_s^t W X_u^n \, dB_u - \int_s^t W X_u \, dB_u \right|^2 \right) &= \mathbb{E} \left( \int_s^t W^2 (X_u^n-X_u)^2 \, du \right) \\ &\leq k^2 \mathbb{E} \left( \int_s^t (X_u-X_u^n)^2 \, du \right) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0. \tag{1} \end{align*}$$

Del mismo modo, encontramos que

$$\mathbb{E} \left( \left| W \int_s^t X_u \, dB_u - W \int_s^t X_u^n \, dB_u \right|^2 \right) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0. \tag{2}$$

Como sabemos que la afirmación es válida para $X^n$ obtenemos

$$\begin{align*} \int_s^t W X_u \, dB_u &\stackrel{(1)}{=} L^2-\lim_{n \to \infty} \int_s^t W X_u \, dB_u \\\ &= L^2-\lim_{n \to \infty} W \int_s^t X_u^n \, dB_u \\ &\stackrel{(2)}{=} W \int_s^t X_u \,dB_u. \end{align*}$$

Ahora podemos considerar el caso general, es decir, que $W$ no está necesariamente acotado. Por la primera parte de la prueba, tenemos

$$\int_s^t \min\{W,k\} X_u \, dB_u = \min\{W,k\} \int_s^t X_u dB_u. \tag{3}$$

Por la isometría de Itô,

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \left| \int_s^t W X_u \, dB_u - \int_s^t \min\{W,k\} X_u \, dB_u \right|^2 \right) &= \mathbb{E} \left( \int_s^t (W-\min\{W,k\})^2 X_u^2 \, du \right) \\ &\leq 4 \mathbb{E} \left( \int_s^t W^2 1_{\{|W|>k\}} X_u^2 \, du \right). \end{align*}$$

Desde $\mathbb{E}(\int_s^t W^2 X_u^2 \, du)<\infty$ se deduce del teorema de convergencia dominante que el lado derecho converge a $0$ como $k \to \infty$ . Un razonamiento muy similar muestra que

$$\mathbb{E} \left( \left| W \int_s^t X_u \, dB_u - \min\{W,k\} \int_s^t X_u \, dB_u \right|^2 \right) \xrightarrow[]{k \to \infty} 0.$$

Dejar $k \to \infty$ en $(3)$ obtenemos

$$\int_s^t W X_u \, dB_u = W \int_s^t X_u \, dB_u.$$