Mostrar la distribución igual de la máxima y la media de dos exponenciales i.i.d.

Question

He estado tratando de probar: $Z \overset{d}{=} W$

Dónde:

• $Z = \frac{X+Y}{2}$ ,
• $W = \max(X,Y)$ ,
• X e Y son r.v:s independientes e idénticamente distribuidos exponencialmente con $\lambda = 1$

Mi idea era calcular y comparar las funciones características. Para $Z$ podemos derivar su f.c, $\gamma_Z(t)$ fácilmente por lo siguiente:

• $\gamma_Z(t)=\gamma_{X+Y}(\frac{t}{2}) = (\gamma_{X}(\frac{t}{2}))^2 = \frac{1}{(1-it/2)^2}\hspace{15mm}$ (1)

que es el c.f. de un $\Gamma(2,2)$ -Mientras que el c.f. de $W$ es más difícil de derivar. Utilizando la respuesta a esta pregunta:

• https://stats.stackexchange.com/questions/18433/how-do-you-calculate-the-probability-density-function-of-the-maximum-of-a-sample

En primer lugar podemos ver que la f.d.c. de $W$ es:

• $F_W(w) = F_X(w)F_Y(w) = (1 - e^{-w})^2 = 1 - 2e^{-w} + e^{-2w}$

Y al derivarlo con respecto a $w$ nos encontramos con que:

• $f_W(w) = \frac{dF_W(w)}{dw} = 2(e^{-w} - e^{-2w})$

Entonces:

• $\gamma_W(t) = E[e^{itw}] = \int_0^{\inf}e^{itw}f_W(w)dw = 2\int_0^{\inf}e^{itw}(e^{-w} - e^{-2w})dw$

• ... $\hspace{8mm}= 2\int_0^{\inf}e^{-w(1-it)} - e^{-w(2-it)}dw $

• ... $\hspace{8mm}= 2[\frac{e^{-w(1-it)}}{it-1} - \frac{e^{-w(2-it)}}{it-2}]_0^{\inf} $

• ... $\hspace{8mm}= 2[0 - (\frac{1}{it-1} - \frac{1}{it-2})] $

• $\gamma_W(t) = \frac{1}{1-3/2it-t^2/2} $

Lo que no coincide con los resultados de (1) y me hace dudar de que mi enfoque sea el correcto para resolver este problema. Cualquier sugerencia o corrección será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

El resultado que has expuesto es en realidad falso, y @drhab dio un fantástico y rápido argumento de por qué.

Mi mejor conjetura sobre lo que sucede es que puede haber copiado mal la pregunta. ¿Es posible que $Z$ debe ser $X + \frac Y 2$ ¿en su lugar? Que tiene la misma distribución que $\max\{X, Y\}$ y una buena explicación de por qué se puede encontrar aquí (copiado abajo).

\begin {alinear} {alinear} \rm Pr}(X + Y/2 \leq a) &= \int_0 ^a e^{-x} { \rm Pr} \left (Y \leq 2(a-x) \right )\N- dx \\ &= \int_0 ^a e^{-x} \left (1-e^{-2(a-x)} \right )\N- dx \\ &= \int_0 ^a e^{-x}\ dx - e^{-2a} \int_0 ^a e^x\ dx \\ & = 1 - e^{-a} - e^{-2a}(e^a-1) \\ &= 1 - 2e^{-a} + e^{-2a} \\ &= \left (1-e^{-a} \right )^2 \\ &= { \rm Pr}(X \leq a, Y \leq a) \\ &= { \rm Pr}( \max\ {X , Y\} \leq a) \end {align}

Answer 2

No están distribuidos de forma equitativa ya que $\mathbb{E} Z = 1$ y $\mathbb{E}W=1+1+\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$ , ver aquí por qué.