¿Cómo se llega a la expresión de forma cerrada de ap^1 + ap^2 + ... + ap^k?

Question

¿Por qué es cierto lo siguiente? Tomado de aquí en ANÁLISIS, conjunto de datos de gran tamaño. $$ap^1 + ap^2 + ap^3 + ... + ap^k = a\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$$ No consigo llegar al lado derecho. Gracias.

También tenga en cuenta que esta es mi primera pregunta aquí. Si es una pregunta estúpida, lo siento de verdad.

Answer 1

Una pista: $a+ap+ap^2+\ldots=\frac a{1-p}$ para $|p|<1$ . Y, $$(a+ap+ap^2+\ldots)-(ap^{k+1}+ap^{k+2}+\ldots)=a+ap+\ldots+ap^k$$

Answer 2

Creo que la fórmula que el texto de la pregunta nos pide que verifiquemos está, de hecho, mal planteada; la versión correcta es

$a + ap^1 + ap^2 + \ldots ap^k = a \dfrac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}, \tag 0$

visto de la siguiente manera:

Mantener el factor $a$ en suspenso por un momento, tenemos

$(p - 1) \displaystyle \sum_0^k p^i = p \sum_0^k p^i - \sum_0^k p^i$ $= \displaystyle \sum_0^k p^{i + 1} - \sum_0^k p^i = \sum_1^{k + 1} p^i - \sum_0^k p^i$ $= p^{k + 1} + \displaystyle \sum_1^k p^i - \sum_1^k p^i - p^0 = p^{k + 1} - 1; \tag 1$

así,

$\displaystyle \sum_0^k p^i = \dfrac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}; \tag 2$

reintroducir el factor $a$ a través de la multiplicación en ambos lados da como resultado

$\displaystyle \sum_0^k a p^i = a\dfrac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}, \tag 3$

que es simplemente otra forma de escribir (1), el resultado deseado.