(Ojalá) Pregunta sencilla sobre el functor de álgebra exterior

Question

Tengo algunas preguntas (espero que super) básicas sobre el functor de álgebra exterior

$$ \wedge:R\text{-Mod}\rightarrow R\text{-Alg}. $$

Tal y como yo (creo) lo entiendo, si se considera como un functor en clasificado $R$ -(denotadas aquí por $(R\text{-Alg})_{\text{gr}}$ ), se trata de una construcción libre, por lo que este functor admite un adjunto derecho dado por el functor olvidadizo $F:(R\text{-Alg})_{\text{gr}}\rightarrow R\text{-Mod}$ enviando una calificación $R$ -a su componente de grado 1. Como tal, $\wedge$ debería ser justo lo exacto.

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Preguntas:

• No estoy loco, y ese functor olvidadizo es un adjunto derecho de $\wedge$ ¿verdad?
• Si se considera como se dijo al principio, es decir, como un functor en la categoría de $R$ -en lugar de las álgebras graduadas $R$ -algebras, ¿se mantiene esto? ¿Es $\wedge$ ¿aún admite un adjunto derecho? Mi opinión es que ya no lo hace (pensando en un ejemplo sencillo y concreto: dejemos que $R$ sea un campo, digamos, y tome $W$ sea un subespacio tridimensional de un espacio de 5 dimensiones $R$ -espacio vectorial. Entonces $\wedge^2$ , digamos, ser exacto implicaría que satisface $\wedge^2(V/W)\cong\wedge^2(V)/\wedge^2(W)$ . Sin embargo, esto no puede ser cierto, ya que

$$ \text{dim}(\wedge^2(V/W))= {2\choose 2}=1\neq 7={5\choose 2}-{3\choose 2}=\text{dim}(\wedge^2(V)/\wedge^2(W)) $$

$\quad \ \ $ ¿Es correcto mi razonamiento? ¿Y se puede extender esta no-exactitud a la $\quad \ \ $ functor $\wedge$ ?)

• ¿Qué hay de un adjunto a la izquierda? No se me ocurre ninguno, pero ¿hay alguna forma fácil de ver que no existe? ¿O también admite un adjunto a la izquierda?

¡Cualquier ayuda con estos sería muy apreciada! Gracias.

Answer 1

Como menciona darij grinberg, el álgebra exterior es el álgebra libre conmutativa graduada sobre un espacio vectorial. No es el álgebra libre ni el álgebra graduada libre. Esto no excluye la posibilidad de que se produzcan adjuntos "inesperados" a la derecha.

Tu argumento de las dimensiones no funciona, porque para que $\operatorname{dim}(A/B) = \operatorname{dim} A - \operatorname{dim} B$ para que se mantenga en una categoría de tipo algebraico, es necesario verificar que $B$ es un ideal en $A$ . De hecho, no es en su caso donde $A = \Lambda^2(V)$ y $B = \Lambda^2(W)$ . Las categorías de las álgebras generalmente no son abelianas, así que ¡cuidado! Pero creo que debería ser fácil demostrar que $\Lambda$ no conserva los coproductos cuando toma valores de la categoría incorrecta.

Para demostrar que $\Lambda$ no tiene un adjunto izquierdo, se puede demostrar que no preserva los productos. Al fin y al cabo, los productos y coproductos finitos coinciden en las categorías de módulos, pero no coinciden en las categorías de álgebras (donde los coproductos vienen dados por los productos tensoriales y los productos se toman puntualmente). Así que un functor de módulos a álgebras puede preservar uno o el otro, ¡pero no ambos!