Diagonalización de una matriz con cambio de base

Question

Estaba intentando diagonalizar una matriz no muy bonita haciendo primero un cambio de base pero me he dado cuenta de que los dos polinomios característicos que obtengo son diferentes.

Matriz original y su polinomio característico es:

$M_{\alpha} =\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ \alpha & -\alpha+1 & 1 & -\alpha \\ \alpha & \alpha+1 & 2\alpha+1 & -\alpha \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

$p_a(\lambda)=\lambda^4-(2+a) \lambda^3 -2 a^2 \lambda^2$

Mi nueva base:

$\mathcal{B'}=\{(1,\alpha, 0, 0), (0,1,1,0), (0,0,\alpha,0), (0,0,0,1) \}$

Según esta base $M_\alpha$ debe ser similar a:

$M'_{\alpha} =\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

y su polinomio característico debe ser: $p'(\lambda) = \lambda^4-3\lambda^2+\lambda^2$

¿Qué estoy haciendo mal? (En cualquier caso no creo que mi cambio de base sea el más inteligente ¿algo más?)

Answer 1

Una matriz representa un mapa de un espacio a otro (en este caso $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{R}^4$ ). Se escribe con respecto a dos bases, una para cada espacio. En este caso, se desea utilizar la misma base para ambos espacios.

Sin embargo, para pasar de la primera matriz a la segunda, sólo has cambiado una de las dos bases. Para obtener la nueva matriz correcta, debes multiplicar la matriz original por la matriz de cambio de base en un lado, y por su inversa en el otro.