Tengo el siguiente ideal en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ , $I = (2 - \sqrt{-5})$ . Quiero saber cómo representar explícitamente $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/I$ y determinar si se trata de un campo.
He intentado $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/I \cong \mathbb{Z}[x]/(2-x,x^2+5)$$ pero estoy atascado.
De hecho, trabajar con el módulo $I$ en $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ tenemos $3\cdot 3=9=(2-\sqrt{-5})(2+\sqrt{-5})$ . Queda por demostrar $3\ne 0$ modulo $I$ . Bueno, si $3\in I$ entonces tendríamos una relación de la forma $3=(a+b\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$ Si se toman las normas, se obtendrá $9=(a^2+5b^2)\cdot 9$ Así que $a^2+5b^2=1$ Así que $b=0$ y $a=\pm1$ contradicción.
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