Prueba de adición ordinal

Question

Dejemos que $\alpha ,\alpha^{'},\beta$ Sean ordinales entonces demuestre que si $\alpha<\alpha^{'}\implies \alpha +\beta \le \alpha^{'}+\beta$

Mi intento es utilizar la inducción en $\beta$ cuando $\beta=0$ entonces es trivial que $\alpha < \alpha^{'}$ por el problema que estamos tratando de resolver, mi problema es cómo proceder a partir de aquí, para cuando es un sucesor y un ordinal límite, cualquier ayuda sería agradecida.

Mi definición de suma ordinal es la siguiente $\alpha +\beta= \alpha$ si $\beta=0$ es igual a $S(\alpha+\gamma)$ si $\beta=S(\gamma)$ aquí S se refiere al sucesor, y es igual a $\sup_{\gamma<\beta}(\alpha+\gamma)$ si $\beta$ es un ordinal límite.

Answer 1

No creo que necesites la inducción para esto. Tenga en cuenta que $\alpha +\beta$ es, por definición, el único ordinal $\gamma$ que es de orden isomorfo a $\alpha \sqcup \beta.$ Por lo tanto, si $\alpha<\alpha'$ entonces existe la obvia incrustación que preserva el orden $\alpha \sqcup \beta\to \alpha' \sqcup \beta$ . Ahora bien, como ningún ordinal puede ser de orden isomorfo a sí mismo, debe darse el caso de que $\alpha \sqcup \beta\le \alpha' \sqcup \beta.$

Si quieres hacerlo por inducción, creo que podemos argumentar lo siguiente:

Si $\beta $ es un ordinal límite, tenemos, por definición, $\alpha + \beta = \text{sup}(\{\alpha + \delta \; |\; \delta < \beta\})$ y de forma similar para $\alpha' +\beta$ . Entonces, con $\alpha<\alpha',$ la hipótesis de inducción dice $\alpha + \delta \leq \alpha' + \delta$ para todos $\delta < \beta$ y la afirmación se deduce por motivos puramente teóricos de conjuntos.

Observación: Es fácil demostrar que $\alpha\le \alpha'\Rightarrow \alpha+1\le \alpha'+1$

Ahora, supongamos que $\beta= \delta + 1.$ Entonces, utilizando la ley de asociatividad, la hipótesis inductiva y la observación, calculamos $\alpha +\beta = \alpha +(\delta+1)=(\alpha +\delta)+1\le(\alpha'+\delta)+1= \alpha'+(\delta+1)=\alpha'+\beta.$