Informática $\int_{\alpha}\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz$ utilizando la fórmula integral de Cauchy

Question

Dejemos que $\alpha(t) = re^{it}$ donde $|a|<r<|b|$ y $t \in [0,2\pi]$ . Me gustaría calcular $$\int_{\alpha}\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz \ \ \ \ n, m \in \mathbb{N}.$$ Parece que la respuesta es $$2\pi i (-1)^m{n + m -2 \choose n-1}\frac{1}{(b-a)^{n+m-1}}.$$ Intento calcularlo pero no estoy seguro de que sea la respuesta final. Aquí está mi intento:

Dejemos que $f(z) = \frac{1}{(z-b)^m}$ entonces por la fórmula integral de Cauchy $$\int_{\alpha}\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz = \int_{\alpha}\frac{f(z)}{(z-a)^n}dz = \frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a).$$ Tratando de encontrar una expresión de $f^{(n-1)}(z)$ \begin {align*} f^{(1)} &= -m \frac {1}{(z-b)^{m-1}} \\ f^{(2)} &= m(m-1) \frac {1}{(z-b)^{m-2}} \\ f^{(3)} &= -m(m-1)(m-2) \frac {1}{(z-b)^{m-3}} \\ & \vdots\\ f^{(n-1)} &= (-1)^{n-1}m(m-1)(m-2) \dotsc (m-n + 2) \frac {1}{(a-b)^{m-n+1}} \end {align*} Creo que esto debería ser correcto. Así que, \begin {align*} \int_ { \alpha } \frac {1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{n-1}m(m-1)(m-2) \dotsc (m-n + 2) \frac {1}{(a-b)^{m-n+1}} \\ &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{2n-2-m}m(m-1)(m-2) \dotsc (m-n + 2) \frac {1}{(b-a)^{m-n+1}} \\ &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{m}m(m-1)(m-2) \dotsc (m-n + 2) \frac {1}{(b-a)^{m-n+1}}. \end {align*} Pero el exponente en $(b-a)$ no es lo mismo. Además, no tengo ni idea de cómo puedo obtener el coeficiente binomial. Escribir el coeficiente binomial en la respuesta dada tampoco parece ayudarme. $${n + m -2 \choose n-1} = \frac{(n+m-2)!}{(n-1)!(m-1)!} = \frac{(n+m-2)(n+m-3)\dotsc 2\cdot 1}{(n-1)!(m-1)!} $$

NOTA: Todavía no he aprendido el teorema del residuo.

Answer 1

Respondiendo a mi propia pregunta, gracias a los comentarios. Deja que $f(z) = \frac{1}{(z-b)^m}$ entonces por la fórmula integral de Cauchy $$\int_{\alpha}\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz = \int_{\alpha}\frac{f(z)}{(z-a)^n}dz = \frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a).$$ Tratando de encontrar una expresión de $f^{(n-1)}(z)$ \begin {align*} f^{(1)} &= -m \frac {1}{(z-b)^{m+1}} \\ f^{(2)} &= m(m+1) \frac {1}{(z-b)^{m+2}} \\ f^{(3)} &= -m(m+1)(m+2) \frac {1}{(z-b)^{m+3}} \\ & \vdots\\ f^{(n-1)} &= (-1)^{n-1}m(m+1)(m+2) \dotsc (m+n - 2) \frac {1}{(a-b)^{m+n-1}} \end {align*} Así que, \begin {align*} \int_ { \alpha } \frac {1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{n-1}m(m+1)(m+2) \dotsc (m+n - 2) \frac {1}{(a-b)^{m+n-1}} \\ &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{n-1-m-n+1}m(m+1)(m+2) \dotsc (m+n - 2) \frac {1}{(b-a)^{m+n-1}} \\ &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{-m}m(m+1)(m+2) \dotsc (m+n - 2) \frac {1}{(b-a)^{m+n-1}} \\ &= \frac {2 \pi i}{(n-1)!}(-1)^{m}m(m+1)(m+2) \dotsc (m+n - 2) \frac {1}{(b-a)^{m+n-1}}. \end {align*} Tenga en cuenta que $${n + m -2 \choose n-1} = \frac{(n+m-2)(n+m-3)\dotsc m}{(n-1)!}.$$ Por lo tanto, $$\int_{\alpha}\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}dz = 2\pi i(-1)^m{n + m -2 \choose n-1}\frac{1}{(b-a)^{m+n-1}}.$$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{}}$

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\begin {align} & \bbox [5px,#ffd]{ \left. \oint_ { \verts {z}\año =\año r}\año,\año, { \dd z \over \pars {z - a}^{\\}, n} \pars {z - b}^{\\}}, y el resto del mundo. \, \right\vert_ { \substack \in\ \mathbb {N} \\ [1mm] \verts {a}\a <\a r\a> <\a> \verts {b}}}} \\ [5mm] = &\\N- 2 \pi\ic\on {Res} \bracks {{1 \over \pars {z - a}^{\\}, n} \pars {z - b}^{\\}}, z = a} \label {1} \tag {1} \end {align}

\begin {align} \mbox {Observar que}\N- & {1 \over \pars {z - b}^{m}} = {1 \over \bracks {a - b + \pars {z - a}}^{m}} \\ [5mm] & = {1 \over \pars {a - b}^{m}} \bracks {1 + {z - a \over a - b}}^{-m} \\ [5mm] & = {1 \over \pars {a - b}^{m}} \sum_ {k = 0}^{ \infty }{-m \choose k} \pars {z - a \over a - b}^{k} \end {align} ( \ref {1}) se convierte en \begin {align} & \bbox [5px,#ffd]{ \left. \oint_ { \verts {z}\año =\año r}\año,\año, { \dd z \over \pars {z - a}^{\\}, n} \pars {z - b}^{\\}}, y el resto del mundo. \, \right\vert_ { \substack \in\ \mathbb {N} \\ [1mm] \verts {a}\a <\a r\a> <\a> \verts {b}}}} \\ [5mm] = &\\N- 2 \pi\ic {1 \over \pars {a - b}^{m}} \bracks {{-m \choose n - 1} \pars {1 \over a - b}^{n - 1}} \\ [5mm] = &\\N- 2 \pi\ic {1 \over \pars {a - b}^{m + n - 1}} {m + \bracks {n - 1} - 1 \choose n - 1} \pars {-1}^{n - 1} \\ [5mm] = &\\N- \bbx {2 \pi\ic\ , \pars {-1}^{m} {n + m - 2 \choose n - 1} {1 \over \pars {b - a}^{n + m - 1}} \\ & \end {align}