Combinatoria: Hallar el número de triángulos isósceles con lados enteros que no superen $n$

Question

Demostrar que el número de triángulos isósceles con lados enteros, ningún lado superior a n, es $ \frac{1}{4}(3n^2+1)$ o $\frac{1}{4}(3n^2)$ según si n es impar o par.

Mi trabajo:
Que los lados sean $x,y,x$ . Sabemos que la suma de 2 lados de un triángulo es siempre mayor que el tercer lado. $$\therefore x>y/2$$ A continuación, se da que ningún lado puede ser mayor que $n$ . $$x\leq n$$

• Caso 1: $x<y$ Tomando un ejemplo, he calculado que el número de posibilidades viene dado por $\frac{n}{2}\cdot(\frac{n}{2}-1)=\frac{n^2-2n}{4}$
• Caso 2: $y\leq x\leq n$ ...

El problema:
En primer lugar, no puedo encontrar una solución para el caso $2$ . Además, no estoy seguro de si lo que he hecho para el caso $1$ es correcto. Sería genial si alguien pudiera ayudarme a encontrar una solución para esta cuestión.

Answer 1

Denotemos la longitud de los dos tramos iguales por $x$ y la longitud de la base por $y$ . Entonces tenemos que contar el número de puntos de la red $(x,y)$ Satisfaciendo a $$1\leq x\leq n,\qquad 1\leq y\leq\min\{2x-1,n\}\ .$$ Para ello dibujar una figura . Los puntos de la red en cuestión están contenidos en una región trapezoidal con vértices $(1,1)$ , $(n,1)$ , $(n,n)$ y $\bigl({n+1\over2},n\bigr)$ .

Si $n$ es impar podemos contar estos puntos de la red de la siguiente manera: Tomándolos en filas verticales, empezando por la izquierda, obtenemos $$N=1+3+5+\ldots +n+{n-1\over2}\cdot n=\left({n+1\over2}\right)^2+{n-1\over2}\cdot n={1\over4}(3n^2+1)\ .$$ Dejo el caso de incluso $n$ para ti.