¿Existe una forma cerrada para $L_k$ cualquier $k>3$?

Question

He definido una secuencia $L_k$ como el límite de una secuencia de "hyperharmonic de la serie" en esta pregunta.

Me sorprendí al encontrar que el $L_3=(\sqrt{13+4\sqrt2}-1)/2$, pero fue incapaz de encontrar una representación por cualquier $k>3$.

¿Existe una forma cerrada para $L_k$ cualquier $k>3$?

Definición:

Deje $H_k^{-1}=1$ para cada entero positivo $k$, y

$$H_k^r=\sum_{n=1}^k\left(\sum_{m=1}^nH_m^{r-1}\right)^{-1}$$

para cada entero positivo $k$ y un entero no negativo,$r$, por lo que $$H_k^0=\sum_{n=1}^k\dfrac1n$$ coincides with the usual definition of the $k$ésimo número armónico. He definido

$$L_k=\lim_{r\to\infty}H_k^r$$

Claramente $L_1=1$, se puede deducir a partir de la continuación de la fracción de $\sqrt2$ y las definiciones anteriores que $L_2=\sqrt2$, y me encontré con el anterior valor de $L_3$ con el uso de la alta precisión de punto flotante.

Edit: supongo que es obvio que $L_k$ satisface

$$L_k=\sum_{n=1}^k\left(\sum_{m=1}^nL_m\right)^{-1}$$

pero no sé cómo aplicarlo para calcular el $L_k$. Wolfram Alpha fue capaz de darme una horrible expresión de

$L_4={\small-\dfrac{5+3\sqrt2+\sqrt{13+4\sqrt2}+\sqrt{26+8\sqrt2}-\sqrt2(361+178\sqrt2+51 \sqrt{13+4\sqrt2}+64\sqrt{26+8\sqrt2})}{2(1+2\sqrt2+\sqrt{13+4\sqrt2})}}$

Edit: yo no estoy tan seguro de esta última suma. Creo que me fue dado un resultado correcto por Wolfram Alpha, pero creo que he cometido un error en la transcripción. Lamentablemente estoy teniendo un tiempo difícil conseguir que el resultado de nuevo.

Pongo la fórmula más simple $L_k=\dfrac1{L_k-L_{k-1}}-\dfrac1{L_{k-1}-L_{k-2}}$ en Wolfram Alpha, y me daba la recurrencia

$${\scriptsize L_k=\dfrac{L_{k-1}^2-L_{k-1}L_{k-2}+\sqrt{L_{k-1}^4-2L_{k-1}^3L_{k-2}+L_{k-1}^2L_{k-2}^2+6L_{k-1}^2-10L_{k-1}L_{k-2}+4L_{k-2}^2+1}-1}{2(L_{k-1}-L_{k-2})}}$$

que parece que funciona.

Answer 1

Aquí hay alguna información adicional que puede ser de utilidad.

Comenzando con el OPs definición de $H_k^r$: \begin{align*} &H_k^{-1} := 1\qquad& k\geq 1\tag{1}\\ &H_k^r:=\sum_{n=1}^k\frac{1}{H_1^{r-1}+\ldots+H_n^{r-1}}\qquad &k\geq 1, r\geq 0\tag{2}\\ \text{and}\quad&\\ &L_k:=\lim_{r\rightarrow\infty}H_k^r\qquad&k\geq 1\tag{3} \end{align*} Podemos observar de acuerdo a (2) \begin{align*} H_{k+1}^r&=\sum_{n=1}^{k+1}\frac{1}{H_1^{r-1}+\ldots+H_n^{r-1}}\\ &=\left(\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{H_1^{r-1}+\ldots+H_n^{r-1}}\right)+\frac{1}{H_1^{r-1}+\ldots+H_{k+1}^{r-1}}\qquad k\geq 1\\ &=H_k^r+\frac{1}{H_1^{r-1}+\ldots+H_{k+1}^{r-1}} \end{align*}

Desde $H_1^r=\frac{1}{H_1^{r-1}}$ $H_1^{-1}=1$ según (1), obtenemos \begin{align*} H_1^r=1\qquad\forall r\geq 0 \end{align*} y llegamos \begin{align*} L_1=1 \end{align*}

Ahora podemos escribir una relación de recurrencia para $L_k$ \begin{align*} L_1&=1\\ L_{k+1}&=L_k+\frac{1}{L_1+\ldots+L_{k+1}} \qquad k\geq 0\tag{4} \end{align*} Es conveniente introducir \begin{align*} &S_0:= 0\\ &S_k:=L_1+\ldots+L_k\qquad k\geq 1 \end{align*}

Con la ayuda de $S_k$ podemos reescribir la recurrencia de la relación (4) como \begin{align*} L_{k+1}=L_k+\frac{1}{S_k+L_{k+1}} \end{align*}

Observamos \begin{align*} L_{k+1}(S_k+L_{k+1})&=L_kS_k+L_kL_{k+1}+1\\ L_{k+1}^2+L_{k+1}(S_k-L_k)-(L_kS_k+1)&=0\\ L_{k+1}^2+L_{k+1}S_{k-1}-(L_kS_k+1)&=0\\ \end{align*} y obtener \begin{align*} L_{k+1}=\frac{1}{2}\left(-S_{k-1}\pm\sqrt{S_{k-1}^2+4L_kS_k+4}\right)\qquad k\geq 1 \end{align*}

Desde $L_k$ es positivo, podemos concluir con la siguiente ecuación cuadrática de la recurrencia de la relación: \begin{align*} L_1&=1,\quad S_0=0,\\ S_k&= L_1+\ldots+L_k \qquad &\tag{5}\\ L_k&=\frac{1}{2}\left(-S_{k-1}+\sqrt{S_{k-1}^2+4L_kS_k+4}\right)\qquad &k\geq 1 \end{align*}

Con la ayuda de (5) paso a paso vamos a encontrar

\begin{align*} L_1&=1\\ L_2&=\sqrt{2}\approx 1.4142\\ L_3&=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{13+4\sqrt{2}}\right)\approx1.65967\\ L_4&=\frac{1}{2}\left(-(1+\sqrt{2})+\sqrt{19+4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\sqrt{13+4\sqrt{2}}}\right)\approx1.8291\\ &\ldots \end{align*}

Podemos equivalentemente express (5) el uso de $S_k$ solamente.

Obtenemos de \begin{align*} S_{k}&=S_{k-1}+L_k\qquad &k\geq 1\\ L_{k+1}&=L_k+\frac{1}{S_k+L_{k+1}}\\ \end{align*} la ecuación \begin{align*} (S_{k+1}-S_k)&=(S_k-S_{k-1})+\frac{1}{S_k+(S_{k+1}-S_k)}\\ S_{k+1}-2S_k+S_{k-1}&=\frac{1}{S_{k+1}}\\ \end{align*} y, finalmente, \begin{align*} &S_0=0,\quad S_1=1,\\ &S_{k+1}(S_{k+1}-2S_k+S_{k-1})=1\\ \text{resp.}&\\ &S_{k+1}=\frac{1}{2}\left(2S_k-S_{k-1}+\sqrt{4S_k^2-4S_kS_{k-1}+S_{k-1}^2+4}\right) \end{align*}

El primero de los valores $S_k$, $1 \leq k \leq 4$ dar de acuerdo con los valores numéricos de $L_k$ por encima de \begin{align*} S_0=0,S_1=1,S_1\approx 2.41421,S_3\approx 4.07389,S_4\approx 5.90298 \end{align*}

Nota: hasta donde yo sé, no existe una teoría para resolver cuadrática de relaciones de recurrencia similar a la teoría, hemos lineal de las recurrencias. No veo una fructífera específicos Ansatz para obtener un cerrado fórmula para $L_k$.

Observe que las expresiones de $L_k$ crecen en complejidad con el aumento de la $k$. Tal vez en papeles como este uno se podía encontrar pistas para el estudio de algunos aspectos más de la cuadrática de relaciones de recurrencia. Yo no uso de la periodicidad dentro de este papel, sino que el hecho de que iterativo soluciones de las ecuaciones cuadráticas son analizadas.

Answer 2

Considere la posibilidad de $U_n := \sum_{k\leq n}L_k$ que es un objeto más sencillo. Se forma un aumento de la secuencia, y de su relación de recurrencia, $$ U_n - U_{n-1} = \sum_{j\leq n} 1/U_j.$$ Suponga que $(L_k)$ es acotado, dicen por $C>0$. A continuación,$U_n \leq Cn$, y $$ L_k = \sum_{j\leq k} 1/U_j \geq (\log k)/C $$ lo cual es una contradicción como $k\to\infty$. Usted probablemente puede ajustar esto a una fórmula asintótica para $L_k$.