Siempre he visualizado las funciones subarmónicas como me enseñó el Análisis Complejo de Ahlfors: en una dimensión las líneas son funciones armónicas y las funciones "convexas" son subarmónicas.
De hecho, acabo de intentar generalizar esto a dominios multidimensionales, pero me parece un poco más difícil. Mi pregunta es:
¿Puede la desigualdad de Harnack ayudar a verlos mejor? ¿Algún otro consejo o analogía como la de Ahlfors?
Bueno, la intuición general sigue siendo correcta: las funciones convexas siguen siendo subarmónicas, las cóncavas son superarmónicas, etc. Sólo que ahora se pueden tener funciones que son subarmónicas pero no convexas. Moralmente hablando, se puede pensar así: el hessiano de una función convexa es siempre positivo definido, mientras que para una función subarmónica sólo la traza debe ser no negativa. Por ejemplo $2x^2 - y^2$ es subarmónica pero no convexa - sin embargo, en cada punto la curva se "convexa" a lo largo de la $x$ dirección es más fuerte que la curva "cóncava" en el $y$ dirección.
Una función armónica es aquella en la que el valor en cualquier punto interior es comparable a cualquier otro punto interior (esto es lo que dice la desigualdad de Harnack) y no tiene mínimos ni máximos interiores (esto es lo que dice el principio de máximos), por lo que algo "plano" sigue sin ser una mala forma de visualizarlo para ciertos fines, o las curvaturas "cóncavas" se compensan con las curvaturas "convexas", moralmente hablando.
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