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Invarianza de la integral

Dada la integral de Lebesgue con la medida de Lebesgue y el Álgebra de Borel-Sigma, se supone que debo averiguar bajo qué transformaciones $\int_{\mathbb{R}^2} f(x) dx$ la integral es invariante (nótese que $f\in C_c(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$

Reflexión, Rotación, Traslación, cizallamiento.

Las dos primeras son claras, ya que son isometrías. La traducción también preserva el volumen (básicamente la sustitución lo hará). Las cizalladuras también deberían preservar la integral, pero no sé cómo señalar adecuadamente por qué es así.

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Igor Rivin Puntos 11326

La matriz de una cizalla es $$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix},$$ que tiene determinante uno, por lo que la fórmula estándar de cambio de variables debería servir.

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