Tengo una función de densidad $f(x,y)=\alpha x^2y^2$ para $y\in (0,1)$ y $x\in (-y,y)$ . Para encontrar $\alpha$ He evaluado $$\alpha \int_{-y}^y\int_0^1 x^2y^2 \ dydx=1$$ y comprobado $\alpha=9/2y^3$ . ¿Cómo podría entonces calcular la probabilidad $P(X^2\ge 1/8 | Y\le 1/2)$ ? Sé que encuentro la densidad condicional $f_{X|Y}(x,y)$ sobre el marginal $f_Y(y)$ pero este no es un caso de $P(X\in A|Y=y)$ por lo que no estoy seguro de cómo proceder.
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$$\alpha \int_0^1\int_{-y}^y x^2y^2 \ dxdy=1$$
Llevemos a cabo la integración.
$$\begin{align} \int_0^1\int_{-y}^y x^2y^2 \ dxdy&=\int_0^1y^2\left(\frac23 y^3\right)dy\\\\ &=\frac19 \end{align}$$
Por lo tanto, el establecimiento de $\alpha\left(\frac19\right)=1$ revela que $\alpha = 9$ .
Para calcular la probabilidad $P(X^2\ge 1/8 | Y\le 1/2)$ , tenga en cuenta que esto es equivalente a $2P(X\ge \sqrt{1/8} | Y\le 1/2)$ . Esto viene dado por
$$2\int_{\sqrt{1/8}}^{1/2} \int_x^{1/2} 9x^2y^2$$
