Cómo es de cierta la siguiente fórmula: $\frac{\partial |g|}{\partial g_{ij}}=|g|g_{ij}$ , donde $g$ es una métrica y $|g|$ su determinante?

Question

Este El documento dice lo siguiente:

Si $g$ es una métrica (que puede considerarse como una $n\times n$ matriz, y $|g|$ es su determinante, entonces $$\frac{\partial |g|}{\partial g_{ij}}=|g|g_{ij}$$

No entiendo por qué esto es así. Por ejemplo, dejemos que $g$ sea una matriz diagonal. Entonces $$\frac{\partial |g|}{\partial g_{11}}=g_{22}\dots g_{nn}$$ ¿Cómo es esto igual a $|g|g_{11}=g_{11}^2g_{22}\dots g_{nn}$

Answer 1

Mira más de cerca: decía $\dfrac{\partial|g|}{\partial g_{ij}}=|g|g^{ij}$ . Los índices superiores indican que la entrada es de la matriz inversa. Volviendo a tu ejemplo de la diagonal, $g^{ii}=\left(g_{ii}\right)^{-1}$ .