Área encerrada por el cardioide utilizando el teorema de Green

Question

Dejemos que $$\gamma(t) = \begin{pmatrix} (1+\cos t)\cos t \\ (1+ \cos t) \sin t \end{pmatrix}, \qquad t \in [0,2\pi].$$ Encuentra el área encerrada por $\gamma$ utilizando el teorema de Green.

Por lo tanto, el área encerrada por $\gamma$ es un cardioide, denotémoslo como $B$ . Por Teorema de Green que tenemos para $f=(f_1, f_2) \in C^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^2):$

$$\int_B \text{div} \begin{pmatrix} f_2 \\ -f_1 \end{pmatrix} d(x,y) = \int_{\partial B} f \cdot ds$$

Así que si elegimos $f(x,y) = \begin{pmatrix} -y \\ 0 \end{pmatrix}$ por ejemplo, obtenemos

$$\begin{eqnarray} \text{Area of $ B $} &=& \int_{\partial B} f \cdot ds \\&=& \int_{\gamma} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt \\&=& \int_0^{2\pi} \begin{pmatrix} -(1+ \cos t) \sin t \\ 0 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \sin t ( 1 - 2 \cos t) \\ \cos^2t - \sin^2t + \cos t \end{pmatrix} dt ,\end{eqnarray}$$

que supongo que podemos evaluar pero si sigo, esto se volverá muy desagradable y tedioso.

Debe haber una forma más agradable de hacer esto. Por favor, ayúdame a verlo.

Answer 1

El enfoque actual me parece razonablemente eficiente: Desde este punto, si expandes el producto punto, obtendrás sólo tres términos, cada uno de ellos integrales manejables que involucran senos y cosenos. Puedes manejar partes de las integrales rápidamente utilizando el hecho de que el intervalo tiene longitud $2\pi$ que es el período de la $\sin$ y $\cos$ funciones que se producen.

Answer 2

Como regla general, es mejor utilizar $$\frac12\int_{\partial B}(-y\,dx+x\,dy)$$ siempre que se trate de funciones trigonométricas. Eso dará una expresión más simple una vez que se utilicen las identidades trigonométricas estándar.

Comentario: En este caso particular es más sencillo hacer la integral de área directamente en coordenadas polares: $$\int_0^{2\pi}\int_0^{1+\cos\theta} r\,drd\theta.$$