Dejemos que $$\gamma(t) = \begin{pmatrix} (1+\cos t)\cos t \\ (1+ \cos t) \sin t \end{pmatrix}, \qquad t \in [0,2\pi].$$ Encuentra el área encerrada por $\gamma$ utilizando el teorema de Green.
Por lo tanto, el área encerrada por $\gamma$ es un cardioide, denotémoslo como $B$ . Por Teorema de Green que tenemos para $f=(f_1, f_2) \in C^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^2):$
$$\int_B \text{div} \begin{pmatrix} f_2 \\ -f_1 \end{pmatrix} d(x,y) = \int_{\partial B} f \cdot ds$$
Así que si elegimos $f(x,y) = \begin{pmatrix} -y \\ 0 \end{pmatrix}$ por ejemplo, obtenemos
$$\begin{eqnarray} \text{Area of $ B $} &=& \int_{\partial B} f \cdot ds \\&=& \int_{\gamma} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt \\&=& \int_0^{2\pi} \begin{pmatrix} -(1+ \cos t) \sin t \\ 0 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \sin t ( 1 - 2 \cos t) \\ \cos^2t - \sin^2t + \cos t \end{pmatrix} dt ,\end{eqnarray}$$
que supongo que podemos evaluar pero si sigo, esto se volverá muy desagradable y tedioso.
Debe haber una forma más agradable de hacer esto. Por favor, ayúdame a verlo.
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En coordenadas cilíndricas es el área dada por $$ 0\leq r(\theta)\leq1+\cos(\theta). $$ Integrando obtenemos $$ A = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1+\cos(\theta)}r\ drd\theta, $$ que es bastante fácil de evaluar.