colorear cada punto del plano en rojo o azul

Question

¿Es posible colorear cada punto del plano en rojo o azul para que no cuadrado con longitud de lado unitaria y vértices monocromáticos se forma?

EDIT: Creo que esto es posible, para cada punto del plano colorea los puntos que están a la unidad de longitud con un color opuesto. De esta forma se garantiza que no se forme ningún vértice monocromático de longitud unitaria entre sí y, por tanto, ningún cuadrado con longitud de lado unitaria y vértices monocromáticos.

EDIT: El punto que estaba tratando de hacer es que debe haber al menos un punto en el cuadrado de longitud unitaria con un color diferente, si no viola la coloración definida anteriormente. Por lo tanto, es posible colorear los puntos de manera que no se forme ningún cuadrado con longitud lateral unitaria y vértices monocromáticos.

Answer 1

Bandas horizontales con altura exacta $1$ cerrado en la parte inferior, abierto en la parte superior, proporcionan una coloración de este tipo. Así, $(x, y)$ es rojo si $2|\lfloor y \rfloor$ y azul en caso contrario.

Numera los vértices del cuadrado por orden de altura y deja que $\theta$ sea el ángulo entre una línea horizontal que pasa por el vértice $1$ y el lado del cuadrado $\overline{12}$ . Sin pérdida de generalidad, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . (En caso contrario, realice una reflexión.) Sea $y_1$ sea el $y$ -coordenada del vértice $1$ . Entonces el $y$ -Las coordenadas de los cuatro vértices son:

$$y_1\\ y_2 = y_1+\sin \theta\\ y_3=y_1+ \cos \theta \\ y_4=y_1+\sin \theta + \cos \theta = y_1+\sqrt{2}\sin (\theta + \frac{\pi}{4}).$$

La diferencia de altura máxima entre cualquier dos vértices es $\sqrt{2} \lt 2$ por lo que un cuadrado monocromático sólo es posible si la diferencia de altura entre algunos dos vértices consecutivos es estrictamente mayor que $1$ .

Pero eso es imposible. Obviamente no puede suceder entre $1$ y $2$ , $3$ y $4$ , $2$ y $4$ o $3$ y $1$ . Y $y_3-y_2= \cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \cos (\theta + \frac{\pi}{4})$ así que $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow |y_3-y_2| \leq 1$ completando la prueba.

Editado para responder a los comentarios que piden más detalles.