Reformulaciones lagrangianas

Question

Estoy leyendo un libro sobre teoría de grupos y me he quedado atascado en la primera ecuación (incluso antes de que empiece el texto formal):

$$I = \int L(q,q',t)dt $$

¿Cómo se le ocurrió esta formulación y por qué es correcta? He estado buscando materiales relevantes en internet pero la mayoría son de QM, lo cual está fuera de mi alcance.

¿Podría ayudar al novato en matemáticas a encontrar un material que sea más fácil de entender los términos básicos como "acción"?

¿Por qué no definir "acción" como $\int L(q,q',q'',t)dt$ ? O incluso

$ \int L(|q\rangle,t)dt $ donde $ |q\rangle = (q,q^{(1)},...q^{(n)},...) $

Gracias

Answer 1

Matemáticamente, nada impide definir la "acción" como $I = \int{L(q,q',q'',t)}$ . Sin embargo, en física, la acción suele definirse como $I=\int{L(q,q',t)}$ porque el espacio de fase de una partícula es $(q,q')$ . En otras palabras, en un sistema de dinámica física, la posición y la velocidad de la partícula son suficientes para determinar su trayectoria futura. Así es como funciona el mundo físico. Es posible que en otro universo, conocer la posición y la velocidad de la partícula no sea suficiente. También es necesario conocer su aceleración para determinar su trayectoria futura. Entonces la definición de la acción sería como $I = \int{L(q,q',q'',t)}$ .

Answer 2

También podríamos preguntarnos por qué Newton escribió el segundo principio de la dinámica como $F=m \ddot x$ ¿en lugar de F=m x? No es una ecuación diferencial, ¡sería más sencillo de resolver! Podríamos incluso preguntarnos por qué Newton no escribió su segunda ley como una oda de tercer orden?

La razón es que la naturaleza es como es. Newton postuló su segunda ley en forma de ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, porque está de acuerdo con los experimentos.

Del mismo modo, Hamilton formula el principio de mínima acción tal como es, porque los puntos estacionarios de tal funcional deben satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange. Que también puede derivarse del principio de D'alembert (totalmente equivalente a la segunda ley de Newton).

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