¿Por qué no son iguales las gráficas de $\sin(\arcsin x)$ y $\arcsin(\sin x)$?

Question

(fuente del gráfico anterior)

(fuente del gráfico anterior)

Ambas funciones se simplifican a x, ¿pero por qué los gráficos no son iguales?

Answer 1

Bueno, depende de cómo definas "igual".

Para $\sin(\arcsin(x))$, el dominio de la función es el dominio de $\arcsin$ que es [-1,1]. Por lo tanto, el gráfico está estrictamente definido entre -1 y 1. Sería matemáticamente incorrecto sustituir x por 3 ya que no existe algo como $\arcsin(3)$.

El dominio de $\arcsin(\sin(x))$ es todo $\mathbb{R}$, por lo que puedes sustituir cualquier número (real) que desees y obtendrías una respuesta.

Entonces, ¿son iguales? Si te acercas a tu gráfico de manera que solo mires entre -1 y 1, no hay diferencia. Más allá de estos límites, el término "igual" carece de sentido ya que ¡uno de ellos ($\sin(\arcsin(x))$ ni siquiera existe!

Puedes argumentar un caso similar para $y = (\sqrt{x})^2 \text{y } y = x$. En este último, tienes una línea recta que pasa por el origen desde $-\infty$ hasta $+\infty$. En el primero, la función no está definida para x negativos aunque la simplificación lleva a $y = x$.

Answer 2

El dominio de la función $\arcsin x$ es el intervalo $[-1,1]$; no está definida para ningún valor de $x$ fuera de ese intervalo. Luego puedes tomar el seno de $\arcsin x$, pero el dominio de la función compuesta $\sin\circ\arcsin$ sigue siendo solo $[-1,1]$; ningún otro 'valor de entrada' tiene sentido. Por eso el gráfico de $y=\sin\arcsin x$ se corta en $x=-1$ y $x=1.

La función $\sin x$, por otro lado, está definida para todos los números reales $x$. Además, siempre está entre $-1$ y $1$, por lo que tiene sentido tomar su arcseno. Sin embargo, la función $\arcsin x$ siempre devuelve el ángulo entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ cuyo seno es $x$, por lo que la función compuesta $\arcsin\circ\sin$ siempre 'devuelve' un valor entre $-\pi/2$ y $\pi/2$. Debido a la forma en que funciona la función seno, estos valores oscilan entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ como en tu otro gráfico.

Ambas funciones te dan simplemente $x$ mientras te mantengas dentro de los límites apropiados, $[-1,1]$ para $\sin\arcsin x$ y $[-\pi/2,\pi/2]$ para $\arcsin\sin x$.

Answer 3

$$[-1,1]\stackrel{\textrm{arcsen}}{\longrightarrow}[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\stackrel{\textrm{sen}}{\longrightarrow}[-1,1]$$

$$\mathbb{R} \stackrel{\textrm{sen}}{\longrightarrow} [-1,1]\stackrel{\textrm{arcsen}}{\longrightarrow}[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$

Answer 4

De hecho, mi comentario anterior es un poco impreciso. Lo haré más preciso aquí.

La motivación es clara. Queremos invertir la función $\sin:\Bbb R\to \Bbb R$. Pero esta función no es inyectiva, ni es sobreyectiva, y ese es un problema, ya que una función es invertible si y solo si es biyectiva.

Entonces, si queremos invertir $\sin$, primero debemos restringir su dominio y contradominio de manera apropiada para hacerla biyectiva. La restricción $\sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]$ es una función biyectiva, por lo que tiene una inversa. (Estrictamente hablando, esta es una nueva función, pero normalmente usamos el mismo nombre para ella, lo que podría añadir a la confusión.) Y es la inversa de esta función la que se llama $\arcsin:[-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$. Por eso, $\arcsin$ está definida solo en el intervalo $[-1,1]$ y las funciones $\sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]$ y $\arcsin:[-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ son inversas entre sí.

Ahora, aún podemos ver qué sucede si tomamos la función original $\sin:\Bbb R\to\Bbb R$ y la componemos con $\arcsin:[-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, pero entonces las funciones ya no son inversas y obtenemos el comportamiento que describes arriba.

Answer 5

El dominio de arcsin(x) solo va de -1 a 1.

Aunque las funciones se reduzcan a lo mismo, son diferentes en forma no reducida.

Esto es similar a funciones con discontinuidades removibles: por ejemplo, f(x) = (x - 1)^2 / (x - 1).